1.1 模糊集合创立背景
1. 不兼容原理：一个系统的复杂性增大时，我们使它精确化的能力将减小，在达到一定阀值时复杂性与精确性相排斥，即高复杂性与高精度不兼容。
2. Zadeh 研究大系统遇到的问题
他经常徘徊于人脑思维－大系统－计算机三者之间，人脑对复杂大系统中许多模糊概念与模糊信息不是用是、非二值逻辑，而是用模糊逻辑。线性的计算机是以二值逻辑{0,1}为基础，不能处理模糊信息，怎么办
为使大脑能像人脑那样处理夺命钱模糊信息，必须将{0,1}扩展到[0, 1]闭区间，于是他在1965年发表了开创性论文“Fuzzy sets”。
举例解释模糊性与随机性两个概念的差异。
1. 复习经典集合理论
定义： 基于某种属性的、确定的、彼此可区别的事物全体。 论域： 研究对象的全体称为论域（全域、全集、空间、话题）
集合之间关系： 包含与相等
集合的基本运算： 并、交、补运算
集合的三种基本形式如下：
定义式：（只用符合字母）
描述式：（只用文字）由属于一个集合或另一个集合的元素构成的集合称为这两个集合的并
文氏图：（只用图）
集合的直积（叉积，笛卡尔积）：
两个集合A,B的直积：
注意几点：
(1) 序偶不能颠倒顺序（x, y）≠ (y, x), 因此A×B ≠ B×A；
(2) 直积可推广到n个集合；
(3) 当R为实数集，即R={x|-<x < +}，R×R={(x, y)| -<x<+,-<y<+}
称R×R=R2为二维欧氏空间。
2. 映射与关系
(1) 映射f：x→y；
(2) 关系：集合X×Y直积的一个子集R称为X到Y的二元关系，简称关系；
(3) 映射是关系的特例，因为f：x→y 显然{(x, y)|y=f(x)}X×Y。
3. 集合性质
幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律、同一律、复原律中国检验检疫、互补律、对偶律
4. 集合的表示：除描述法，列举法，递推公式法之外，还有特征函数表示法
集合A的特征函数定义为
特征函数的性质：
安丘四中 模糊集合的定义及运算
行动研究法
(1) 概念的内涵与外延
内涵：一个概念中包含那些区别其它概念的全体本质属性称概念的内涵，概念的内涵就是集合的定义。
外延：符合某概念的对象的全体，称为概念的外沿，概念的外延就是指集合的所有元素。
(2) 模糊概念： 在人们思维中，没有明确外沿的概念称模糊概念。例如，高、低、大等。
(3) 模糊集定义：
给定论域U到[0，1]闭区间的映射。
： U → [0,1]
→
都确定一个模糊子集；称为的隶属度函数；称为对隶属度；在不至于混淆的情况下，用表示。
(4) 模糊集合的表示
U为有限离散的情况
Zadeh表示法：
序偶表示法：
向量法：
遥远的拥抱注意：隶属度为0的元素应保留
综合法：
U为连续的情况
(5) 模糊集合的运算
包含、相等的概念同普通集合
并、交、补的运算
模糊集合的代数运算
代数积：
代数和：
(6) 模糊集合的运算性质
不满足互补律，其余8条同普通集合的运算性质相同。
1.4 模糊集合与经典集合的联系
(1) 截集： 称
强截集：
(2) 分解定理
，其中
分解定理提供了用经典集合构造模糊集合的可能性，它是联系模糊数学与经典数学的纽带。
(3) 扩张原则：f：x→ystewart平台可扩展为
规定在扩张中保持它的隶属度函数值不变，扩张原则目的是把普通数学方法扩展到模糊集合运算中。
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