人教版数学必修一
第一章 课文目录
1.1 集合
1.3 函数的基本性质
【重点】
1、集合的基本概念与表示方法；子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系。集合的交集与并集的概念；集合的全集、补集的概念； 2、理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；
3、区间的概念，求函数的定义域和值域；
4、函数的三种表示方法，分段函数的概念；
5、映射的概念；
6新菠萝灰粉蚧、函数的单调性及其几何意义；
7、函数的最大（小）值及其几何意义；
8、函数的奇偶性及其几何意义；
【难点】
1、运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别；集合的交集与并集 “是什么”，“为什么”，“怎样做”； 集合的全集、补集以及求集合中元素个数问题； 2、符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；
3、根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象；
4、利用函数的单调性求函数的最大（小）值；
6、利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性；
7、判断函数的奇偶性的方法与格式.
一、集合的含义与表示
1．集合的含义
（1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称为集）。
说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。
（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。
注意：集合的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征.
确定性是指构成集合的元素具有明确的特征，而某一元素在集合A中或不在集合A中二者必居其一，能够明确的区分,不能模棱两可.
互异性是指集合中不同的字母表示不同的元素，而同一元素在集合中不能重复.
无序性是指集合的构成与元素的顺序无关，构成集合的元素相同而仅排列的顺序不同应认为是同一个集合.
2、集合的表示方法
（一）列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.
说明：
(1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；
(2)一般不必考虑元素之间的顺序；
(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；
(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替；
（二）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。
表示形式：A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则xA；若xA,则x具有性质p。
说明: (1)有些集合的代表元素需用两个或两个以上字母表示；
(2)应防止集合表示中的一些错误。
3、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，叙述如下：
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如图所示：
表示任意一个集合A 表示{3，9，27}
说明：边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
【典型例题】
【例1】平方后仍等于原数的数集
解析：{x|}={0,1}
【例2】比2大3的数的集合
解析：{x|x=2+3}={5}
【例3】不等式x2-x-6<0的整数解集
解析：{x∈Z| x2-x-6<0}={x∈Z| -2<x<3}={-1,0,1,2}
【例4】过原点的直线的集合
解析：{(x,y)|y=kx}
【例5】方程4x2+9y2-4x+12y+5=0的解集
解析：{(x,y)| 4x2+9y2-4x+12y+5=0}={(x,y)| (2x-1)2+(3y+2)2=0}={(x,y)| (1/2,-2/3)}
【例6】使函数y= 有意义的实数x的集合
解析：{x|x2+x-60}={x|x2且x3,x∈R}
二、集合间的基本关系
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作AB（或BA）,即若任意xA,有xB，则AB(或AB)。
这时我们也说集合A是集合B的子集（subset）。
如果集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A,就记作A⊈B（或B⊉A），即:若存在xA,有xB，则A⊈B(或B⊉A)
说明：AB与BA是同义的，而AB与BA是互逆的。
规定:空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有A。
2.集合相等
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素（即AB），同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素（即BA），则称集合A等于集合B，记作A=B。如：A={x|x=2m+1，mZ}，B={x|x=2n-1，n我在美国当市长助理Z}，此时有A=B。
3.真子集：
由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：
(1)AA (任何集合都是其自身的子集)；
(2)若AB，而且AB（即B中至少有一个元素不在A中），则称集合A是集合B的真子集（proper subset），记作A⊂≠ B。（空集是任何非空集合的真子集）
(3)对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，即可得出A⊆C；对A⊂≠ B，B⊂≠ C，同样有A⊂≠ C, 即：包含关系具有“传递性”。
4.证明集合相等的方法：
（1） 证明集合A，B中的元素完全相同；（具体数据）
（2） 分别证明AB和BA即可。（抽象情况）
对于集合A，B，若AB而且BA，则A=B。
结论：一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
三、集合间的基本运算
1.并集：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union set)，即A与B的所有部分，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}。如上述图（3）中的阴影部分。
2.交集：
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集（intersection set），即A与B的公共部分，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈A且x∈B}。如上述图（2）中的阴影部分。
3.一些特殊结论
由图1—5（4）有: 若A,则A∩B=A；
由图1—5（5）有: 若B,则AB=A；
特别地，若A，B两集合中，B=，,则A∩=, A=A。
4.全集
如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（uniwerse set），记作U。如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合。
5.补集(余集)
一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A⊆S），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中集合A的补集（或余集），记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x∉A}
【典型例题】
【例7】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B。
[涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案](图1—6)
解：在数轴上作出A、B对应部分如图A∩B={x|x>-2}
∩{x|x<3}={x|-2<x<3}。
【例8】设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B。
[此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B].(图1---7)
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}。
【例9】设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B。
[运用文氏图解答该题](图1----8)
解： A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}。
【例10】设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B。
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x网球旋风是钝角三角形}={x|x是斜三角形}。
【例11】设A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求A∪B。
[利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求](图1—9)
解：A∪B={x|-1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}.
四、函数及其表示
1、函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数（function基尔霍夫定律教案），记作，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相队对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range)。
定义域、值域、对应法则，称为函数的三个要素，缺一不可；
（1）对应法则f(x)是一个函数符号，表示为“y是x的函数”,绝对不能理解为“y等于f与x的乘积”，在不同的函数中，f的具体含义不一样；
y=f(x)不一定是解析式，在不少问题中，对应法则f可能不便使用或不能使用解析式，这时就必须采用其它方式，如数表和图象，在研究函数时，除用符号f(x)表示外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示；
自变量组蛋白x在其定义域内任取一个确定的值a时，对应的函数值用符号f(a)来表示。如函数f(x)=x2+3x+1,当x=2时的函数值是：f(2)=22+3×2+1=11。
注意：f(a)是常量，f(x)是变量，f(a)是函数f(x)中当自变量x=a时的函数值。
（2）定义域是自变量x的取值范围；
注意：①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同函数；
如：y=x2(xy=x2(x>0)； y=1与y=x0
②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x的集合；在实际中，还必须考虑x所代表的具体量的允许值范围；
如：一个矩形的宽为xm，长是宽的2倍，其面积为y=2x2，此函数的定义域为x>0,而不是。
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