亚运会男足抽签标准偏差
数学表达式：
S-标准偏差（%）
n-试样总数或测量次数，⼀般n值不应少于20-30个
i-物料中某成分的各次测量值，1～n；
标准偏差的使⽤⽅法
六个计算标准偏差的公式[1]
标准偏差的理论计算公式
设对真值为X的某量进⾏⼀组等精度测量, 其测得值为l
1、l
2、……l n。令测得值l与该量真
值X之差为真差占σ, 则有σ
1 = l i? X
σ
2 = l2? X
……
σ
n = l n? X
我们定义标准偏差(也称标准差)σ为
（1）
由于真值X都是不可知的, 因此真差σ占也就⽆法求得, 故式只有理论意义⽽⽆实⽤价值。标准偏差σ的常⽤估计—贝塞尔公式由于真值是不可知的, 在实际应⽤中, 我们常⽤n次测量的算术平均值
来代表真值。理论上也证明, 随着测量次数的增多, 算术平均值最接近真值, 当时, 算术平均值就是真值。
于是我们⽤测得值l
i与算术平均值之差——剩余误差（也叫残差）V i来代替真差σ , 即
设⼀组等精度测量值为l
1、l
2、……l n
则
……
通过数学推导可得真差σ与剩余误差V的关系为
将上式代⼊式(1)有
(2)
式(2)就是著名的贝塞尔公式(Bessel)。
它⽤于有限次测量次数时标准偏差的计算。由于当时，
，可见贝塞尔公式与σ的定义式(1)是完全⼀致的。
应该指出, 在n有限时, ⽤贝塞尔公式所得到的是标准偏差σ的⼀个估计值。它不是总体标准偏差σ。因此, 我们称式(2)为标准偏差σ的常⽤估计。为了强调这⼀点, 我们将σ的估计值⽤“S ” 表⽰。于是, 将式(2)改写为 (2')
在求S时, 为免去求算术平均值的⿇烦, 经数学推导(过程从略)有
于是, 式(2')可写为
黑河学院美术系(2")
按式(2")求S时, 只需求出各测得值的平⽅和和各测得值之和的平⽅艺, 即可。
标准偏差σ的⽆偏估计
数理统计中定义S2为样本⽅差
数学上已经证明S2是总体⽅差σ2的⽆偏估计。即在⼤量重复试验中, S2围绕σ2散布, 它们之间没有系统误差。⽽式(2')在n有限时,S并不是总体标准偏差σ的⽆偏估计, 也就是说S和σ之间存在系统误差。概率统计告诉我们, 对于服从正态分布的正态总体, 总体标准偏差σ的⽆偏估
计值为
(3)
则
,Kσ是与样本个数测量次数有关的⼀个系数, Kσ值见表。
即S
1和S仅相差⼀个系数Kσ
计算K
σ时⽤到
Γ(n + 1) = nΓ(n)
Γ(1) = 1
由表1知, 当n>30时, 。因此, 当n>30时, 式(3')和式(2')之间的
差异可略⽽不计。在n=30～50时, 最宜⽤贝塞尔公式求标准偏差。当n<10时, 由于K
σ值的影响已不可忽略, 宜⽤式(3'), 求标准偏差。这时再⽤贝塞尔公式显然是不妥的。
标准偏差的最⼤似然估计
将σ的定义式(1)中的真值X⽤算术平均值代替且当n有限时就得到
(4)
式(4)适⽤于n>50时的情况, 当n>50时,n和(n-1)对计算结果的影响就很⼩了。
2.5标准偏差σ的极差估计由于以上⼏个标准偏差的计算公式计算量较⼤, 不宜现场采⽤, ⽽极差估计的⽅法则有运算简便, 计算量⼩宜于现场采⽤的特点。极差⽤"R"表⽰。所谓极差就是从正态总体中随机抽取的n个样本测得值中的最⼤值与最⼩值之差。 若对某量作次等精度测量测得l
1、，且它们服从正态分布, 则
R = l
max? l min
概率统计告诉我们⽤极差来估计总体标准偏差的计算公式为
(5)
消失的建筑3称为标准偏差σ的⽆偏极差估计, d2为与样本个数n(测得值个数)有关的⽆偏极差系数, 其值见表2
由表2知, 当n≤15时,, 因此, 标准偏差σ更粗略的估计值为
(5')
还可以看出, 当200≤n≤1000时，因⽽⼜有现代主义文学
显然, 不需查表利⽤式(5')和(5")了即可对标准偏差值作出快速估计, ⽤以对⽤贝塞尔公式
及其他公式的计算结果进⾏校核。
应指出，式(5)的准确度⽐⽤其他公式的准确度要低, 但当5≤n≤15时，式(5)不仅⼤⼤提⾼了计stc89c52单片机
算速度, ⽽且还颇为准确。当n>10时, 由于舍去数据信息较多, 因此误差较⼤, 为了提⾼准确度,
这时应将测得值分成四个或五个⼀组, 先求出各组的极差R
1、, 再由各组极差求出
极差平均值。
极差平均值和总体标准偏差的关系为
需指出, 此时d
2⼤⼩要⽤每组的数据个数n⽽不是⽤数据总数N(=nK)去查表2。再则, 分组时⼀定要按测得值的先后顺序排列，不能打乱或颠倒。
标准偏差σ的平均误差估计
平均误差的定义为
误差理论给出
(A)
可以证明与的关系为
(证明从略)
于是(B)
由式(A)和式(B)得
从⽽有
式(6)就是佩特斯(C.A.F.Peters.1856)公式。⽤该公式估计δ值, 由于\right|V\right|不需平⽅，故计算较为简便。但该式的准确度不如贝塞尔公式。该式使⽤条件与贝塞尔公式相似。
标准偏差的应⽤实例[1]
对标称值R
a = 0.160 < math> µm < math > 的⼀块粗糙度样块进⾏检定, 顺次测得以下15个数据:1.45,1.65,1.60,1.67,1.52,1.46,1.72,1.69,1.77,1.64,4.56,1.50,1.64,1.74和
1.63µm, 试求该
样块R
n的平均值和标准偏差并判断其合格否。
解：1)先求平均值
数值模拟
2)再求标准偏差S
若⽤⽆偏极差估计公式式(5)计算, ⾸先将测得的, 15个数据按原顺序分为三组, 每组五个, 见表3。
表3
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