第七章 数学物理定解问题
一、数理方程的概念
凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类 ——P162
二个自变数y x ，的二阶偏微分方程的一般形式为
G Fu y u E x u D y
u C y x u B x u A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂22222 式中系数G B A ,,, 是y x ，的已知函数或常数。当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,，所满足的条件划分为三类：
1、若042
>-AC B 双曲型方程（一维波动方程）
吕氏春秋下贤2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程）
3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程） 三、定解条件
在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。——P135
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧衔接条件边界条件
初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(永磁同步电动机
诺贝尔生理医学奖§7.1 数学物理方程的导出
数学物理方程的导出步骤如下：——P135
一、波动方程 02=-xx tt u a u
1、均匀弦的自由横振动
在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：
(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
(2)、轻弦：弦拉紧时张力大到可忽略重力的影响。
(3)、柔软：弦中的张力只能是沿着弦线的切线方向。
(4)、微小振动：1<<∂∂x
u 。 (5)、横振动：弦上各点的振动方向垂直于振动的传播方向。
拿区间),(dx x x +上的小段B 为代表加以研究。下面分析一下小段B 的长度为ds ，则ds m ρ=dx ρ≈，
a ：弦的横向加速度记作tt u
F ：⎪⎩⎪⎨⎧=-=-)2()(sin sin )1(0cos cos 11221122tt
u dx T T T T ραααα
因为弦作微小横振动，所以21,αα很小。 1cos cos 21≈≈∴αα，
11sin (,)x tg u x t αα≈=，
22sin (,)x tg u x dx t αα≈=+
由(1)得：T T T ==21，
即均匀柔软的弦作微小振动时，弦上任一横截面上所受的张力都相等，(2)为
tt x x u dx t x u t dx x u T )()],(),([ρ=-+(3)
dx x u x u x
u
x dx x 2
2∂∂+∂∂≈∂∂+ (4) 将(4)代入(3)得， tt u dx dx x
u T )(22ρ=∂∂ 02
222=∂∂-∂∂dx x u T t u ρ 令ρT a =
（可证明a 就是振动在弦上传播的速度——波速，↑T ，↓ρ↑→a ），则B 段的运动方程就
成为 02=-xx tt u a u (5)——齐次的波动方程 （P137）
其实，作为代表的B 段是任选的，所以方程(4)适用于弦上各处，是弦作微小的自由横振动时位移),(t x u 所满足的二阶偏微分方程，称为弦的自由横振动方程。
2、均匀弦的受迫横振动
用字母表示数教学设计
场效应
如果弦在振动过程中还受到外加横向力的作用，每单位长度弦所受横向力为),(t x F ，则应将(2)式修改为
tt u dx dx t x F T T )(),(sin sin 1122ραα=+-
ρρ),(2222t x F dx x u T t
u =∂∂-∂∂ 写成),(2t x f u a u xx tt =-(6)——非齐次波动方程
其中 ρ)
,(),(t x F t x f =——单位质量的弦所受的横向外力，称为力密度。(6)式称为弦的受迫振动方程。
（二）杆的纵振动方程
1、杆的自由纵振动
在以下几个条件下推导杆的自由纵振动方程：
(1)、均匀细杆：杆的密度ρ为常数；横截面积S 为常数；由于是细杆，所以作为一维空间的问题来处理。
(2)、水平放置：杆不受纵向外力的作用。
(3)、微小振动：1<<∂∂x
u ， (4)、纵振动：杆上各点的振动方向平行于振动的传播方向。
设均匀细杆沿杆长的方向x 作微小的自由振动，纵向位移u 是杆上点的位置x 和时间t 的函数，即),(t x u u =，这是我们所要研究的物理量。
设t 时刻，杆处于如图所示的位置，B 两端的位移分别记作),(t x u 和),(t dx x u +。
m ：Sdx m ρ=，
其中S 为杆的横截面积。 a ：杆的纵向振动加速度记作tt u 。
F ：胡克定律, 法向力n u f YS n
∂=∂Y ——杨氏模量（由杆的材料决定） 根据胡克定律，x x u YS f =1，dx x x u YS f +=2
即由于伸长形变，作用在),(dx x x +小段x 端的张就力是1f ，dx x +端的张就力是2f
tt u Sdx f f )(12ρ=- （7）
0=-xx tt u Y u ρ
令ρY
a =2（a 就是纵振动在杆中传播的速度——波速，↑T ，↓ρ↑→a ），则
02=-xx tt u a u （8）
(8)式就是均匀细杆作微小自由纵振动时位移所满足的方程式，称为杆的自由纵振动方程。它是二阶偏微分方程。从物理学知，纵振动在杆中传播的过程形成纵波，故（8）式是描写杆中纵波的一维波动方程。
lsd法2、杆的受迫纵振动
若杆受到纵向外力的作用，单位体积的杆所受的纵向外力),(t x F ，则(7)式改写为
tt u Sdx t x SdxF f f )(),(12ρ=+-
),(),(2t x f t x F u a u xx tt ==-ρ
其中ρ),(),(t x F t x f =——单位质量的杆所受的纵向外力。
从以上讨论可知：描写弦上横波的振动方程与描写杆上纵波的波动方程完全相同。可见，任何无源的一维波动方程都可用方程
022222=∂∂-∂∂x
u a t u x x dx x +
u du u + A A
B B
C C
来描写，这个方程是一维齐次波动方程的标准形式，与二维比较，对于一维波动方程有0442
2>=-a AC B ，所以一维波动方程是双曲型方程。
一维空间的波动方程推广到二维、三维空间： 0222=∆-∂∂u a t
u 其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∆三维
二维一维222222222222
z y x
y x
x
。它描写无源的波动过程，若是有源的，则方程中多了一项非齐次项。 二、输运方程 （一）热传导方程（以一维的为例）
由热学知，由于温度不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象叫热传导（P146）。 热传导的起源是温度的不均匀。温度不均匀的程度可用温度梯度),(t r u ∇表示。热传导的强弱可用热流强度),(t r q ，即单位时间通过单位横截面积的热量表示。（P146）
由实验知，热流强度),(t r q 与温度梯度),(t r u
∇成正比 ),(),(t r u k t r q ∇-=
其中比例系数k 称为热传导系数，负号代表热流是流向温度低处，这是热传导现象的基本定律，称为热传导定律。
以能量守恒定律和热传导定律为基础，导出温度),(t r u
所满足的方程。
1、无热源情况
为简单起见，我们讨论一根均匀细杆的热传导。设细杆内无热源，细杆的横截面积为常数S ，它的侧面绝热。由于杆很细，任何时刻同一横截面上各点的温度都可看成是相同的。假设杆左端的温度高，右端的温度低，x 轴与杆轴重合，则热量只能沿x 轴正向传导，这是一维的热传导问题。
在t ∆时间内净流到小段),(dx x x +中的热量Q ∆等于在t ∆时间内小段),(dx x x +由于温度升高所吸收的热量Q '∆。 t S t dx x q t S t x q Q ∆+-∆=∆),(),(
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