弗洛伊德
在物理学中，很多物理规律、物理现象、物理过程和物理状态的变化等都需要用微分方程来描述。有些是用常微分方程来描述，如经典力学中质点和质点组的运动方程是常微分方程，而在研究连续介质和场（如电磁场、引力场、温度场）时会遇到偏微分方程，量子力学中的运动方程（薛定谔方程）也是偏微分方程。在本课程的第二部分“数学物理方程”部分，我们主要学习如何求解在物理学中经常遇到的几种典型的偏微分方程。
在开始学习之前， 我们先简要复习一下：（1）什么叫常微分方程？
（2）什么叫偏常微分方程？（3）什么叫微分方程的定解问题？
1、常微分方程：
联系一个自变量x ，该自变量的一个未知函数)(x y 和
它的某些阶导数：
出现在方程（或方程组）中的最高阶导数称为该常微分方程的阶数。 常微分方程中要求解的未知函数是一元函数（只有一个自变量）。
例： 222
20 ()?d y xy x y x dx ++=⇒=（ 二阶常微分方程）
2、 偏微分方程：
联系几个自变量,,,,...x y z t ，这些自变量的一个未知函数(,,,...)u x y z t 和
它的某些阶偏导数
：
出现在方程中的最高阶偏导数称为该偏微分方程的阶数。
常微分方程中要求解的未知函数是一元函数（只有一个自变量）, 而偏微分方程中要求解的未知函数是多元函数（有几个自变量）。
例： 2222230 (,)?u u u u u x y x y x y
∂∂∂∂+++=⇒=∂∂∂∂（ 二阶偏微分方程）
3、微分方程的定解问题：
给定一个微分方程，通常能到很多不同的解。为了唯一地确定一个微分方程的解，需要有一些辅助条件，这些辅助条件叫定解条件。 出一个微分方程的满足某些特定定解条件的解，就称为定解问题。 一个微分方程，如果没有给出定解条件，就叫泛定方程（其解是不确定的）。 例： 22220 ()?d y xy x y x dx
++=⇒= 这是泛定方程，其解不确定。 例：定解问题 2220'020()|0 ()?()1x x d y xy x dx y x y x y x =
axara=⎧⎫++=⎪⎪⎪⎪=⇒=⎨⎬⎪⎪=⎪⎪⎪⎪⎩⎭
（ 定解条件：0'0()|0()1x x y x y x ===⎧⎫⎪⎪⎨⎬=⎪⎪⎩⎭ ）
第六章数学物理方程的导出和定解问题
【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P107-121】物理学中经常遇到的几种典型二阶偏微分方程：波动方程、热传导方程（扩散方程）、泊松方程、拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程, ………。
下面我们将通过几个具体的例子，来考察一下如何把一个物理过程表述为微分方程，也就是如何把物理现象“翻译”成数学语言。
第一节波动问题与波动方程
(一)均匀细杆的纵振动方程
u x t平衡时坐标为x的点求：细杆上各点的运动规律, 也就是要求(,):
研究对象：取一不包含端点的小段（x, x+dx），并设杆的横截面积为S，密度为ρ，杨氏模量为Y。
二癸基二甲基氯化铵
该小段在t 时刻的伸长量：u(x+dx,t) - u(x,t)
胡克定律（略去垂直于杆长方向的形变）：
P x t：应力，作用于单位横截面的内力
(,)
对该小段，有两个侧面 ⇒ 两侧均受到应力的作用，沿x 方向的合力：
(,)(,)[(,)(,)][||]x dx x u u F x dx t F x t S P x dx t P x t SY x x
+∂∂+-=+-=-∂∂
在上面的推导中我们利用了二阶偏导数的定义：
22(,)(,)() =x x u u u x dx t u x t x x x dx
∂∂∂+-=∂∂∂ 根据该小段受到的沿x 方向的合力，由牛顿第二定律：ma F =，
其中： 22(,)u x t a t
∂=∂，m dv Sdx ρρ==， 得到： 2222u u Sdx SY dx t x
ρ∂∂=∂∂ 令：
a = 并记： 22222, , tt xx xt u u u u u u t x x t ∂∂∂===∂∂∂∂， 我们得到下面的二阶线性偏微分方程（均匀细杆的纵振动方程， 一维波动方程）：
2tt xx u a u =
说明：(1) 方程中a 的物理意义: 从其表达式看出，它是反映杆本身性质的一个量。(2) 在以上推导中所作的简化假定: (i) 杆作小振动，这样才能应用胡克定律，并略去由于杆的伸缩所引起的密度的变化，从而得到一个线性方程；(ii) 杆很细，则在任意时刻每一截面上各点位移相同，这样可只用一个变量x 来标志同一截面上的各个点，否则u 将不只是x 和t 的函数。
（二） 弦的横振动方程
长为 l 的柔软、均匀的细弦，拉紧以后，让它离开平衡位置在垂直于弦线的外力作用下作微小横振动，求弦上各点的运动规律， 即研究弦上任一点的位移随时间变化的规律。
取沿弦长的方向为x 轴，以坐标x 标志弦上的各点，弦上各点的横向位移记为u 。由于弦上各点在不同时刻的横向位移是不同的，所以u 依赖于弦上各点的位置x 和时间t ，(),u u x t =。 现在研究位于x 到x dx +这一段弦的运动状况，即求出弦上任一点x 的位移(,)u x t 随时间变化的规律，推导出(),u x t 所满足的方程。推导过程如下：
设位于x 到x d x +这一段弦受到的垂直于弦的外力为(),F x t d x （每
nih3t3细胞
性反转单位长度受到的外力为(),F x t ），这段弦两端受到两边的张力为1T ，2T 。 假定弦没有纵向（x 方向）的运动，于是在x 方向，此段弦所受的纵向合力为0，即： 2211cos cos 0T T αα-= （1）
设弦的质量密度为ρ。 此段弦的质量为ds ρ， ds 为此段弦的弧长：
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