单位时间内从x, y, z 方向流入体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v z y x ρρρ,, 单位时间内从x, y, z 方向流出体积元的质量流量为:dydx v dxdz v dydz v dz z dy y dx x +++ρρρ,, 有: dydx v v dxdz v v dydz v v dxdydz t dz z z dy y yx dx x x )()()(+++-+-+-=∂∂ρρρρρρρ 其中: dx x v v v x x dx x ∂∂+=+ρρρ；dy y
v v v y y dy y ∂∂+=+ρρρ；dz z v v v z z dz z ∂∂+=+ρρρ； 可得连续性方程:
v div v z v y v x v t i z y x ρρρρρρ-=∙-∇=∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂)()( 全微分形式推导：
密度ρ是时间t 和空间x, y, z 的函数，即ρ= ρ(t, x, y , z )，则根据全微分定义可得： dz z
dy y dx x dt t d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=ρρρρρ 对t 求导可得：
z
ntfs格式分区v y v x v t dt dz z dt dy y dt dx x t dt d z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂=ρρρρρρρρρ z
v y v x v t t dt d z y x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=ρρρρρρρ…………全微分形式 ρρρρρ)(∇∙+∂∂=∇∙+∂∂=v v t
t dt d , 由ρρρρ∇∙-∙∇-=∙-∇=∂∂v v v t )(可得：)( z
v y v x v d i v dt d z y x v v v v v ∂∂+∂∂+∂∂-=-=∙∇-=∇∙+∇∙-∙∇-=ρρρρρρρ
随体导数： dt d ；定义为：z
v y v x v t t Dt D z y x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=)( 任一物理量随体导数形式为：
z
F v y F v x F v t F F t F Dt DF z y x v ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂= 运动方程： 物理意义：∑=i i F dt d m v ；其中dt d dxdydz dt d V dt d m v v v ⋅=⋅=ρρ z
v y v x v t t dt d v v v v v v v v z y x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∇∙+∂∂=：
x 方向：z
v v y v v x v v t v dt dv x z x y x x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= y 方向：
z v v y v v x v v t v dt dv y z y y y x y y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= z 方向：z
v v y v v x v v t v dt dv z z z y z x z z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂= 质量力：z
z g y y g x
x g g dxdydz mg F g dxdydz mg F g dxdydz mg F z y x )()()(ρρρ======
表面力：定义：S
F S n δδσδlim 0)(→= 流出流体表面力的泰勒级数展开（x 向为例）：dxdy dz z dxdy dxdz dy y
dxdz dydz dx x
dydz zx zx x dz z xy yx x dy y xx xx x dx x )()()()()()(∂∂+=∂∂+=∂∂+
=+++σσσσσσσσσ 净面力计算（x 向为例）：dxdydz z y x dxdydz z dxdy dxdy dxdydz y dxdz dxdz dxdydz x dydz dydz F zx yx xx xz zx x dz z xy yx x dy y xx xx x dx x )()()()(∂∂+∂∂+∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂=-∂∂=-∂∂=-=+++∑σσσσσσσσσσσσ
dxdydz z y x F dxdydz z
y x F dxdydz z
y x F zz yz xz z zy yy xy y zx yx xx x )()()(
∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=σσσσσσσσσ 各轴向动量变化率： 各轴向∑F ：
dt d dxdydz dt d m dt d dxdydz dt d m dt
d dxdydz dt d m z z y y x x νρννρννρν=== dxdydz z
y x dxdydz g F F F dxdydz z
y x dxdydz g F F F dxdydz z y x dxdydz g F F F zz yz xz z z gz z zy yy xy y y gy y zx yx xx x x g x x )()()(∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∂∂+∂∂+∂∂+=+=∑∑∑σσσρσσσρσσσρ
各轴线方向分量的运动方程：
z
y x g dt d z
y x g dt d z
y x g dt d zz yz xz z z zy yy xy y y zx yx xx x x ∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+=σσσρνρσσσρνρσσσρνρ 运动方程的张量形式：ij i i j ji i i g Dt
Dv x g Dt Dv σρρσρρ∙∇+=∂∂+=或 ij ij ij p τδσ+-=
实用的粘性流体剪切流动的运动方程： ij i i p g Dt
Dv τρρ∙∇+∇-= )(z
y x i p g Dt Dv zi yi xi i i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=τττρρ 运动方程在直角坐标系中各方向分量的全微分展开形式：
x 方向：)()(z
y x x p g z v v y v v x v v t v zx yx xx x x z x y x x x ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ y 方向：)()(z
y x y p g z v v y v v x v v t v zy yy xy y y z y y y x y ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ z 方向：)()(
z y x z p g z v v y v v x v v t v zz yz xz z z z z y z x z ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ 运动方程物理意义：
表面粘性力
压力重力体积动量局部动量
)()(z y x i p g z v v y v v x v v t v zi yi xi i i z i y i x i ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂τττρρ 能量方程： 物理意义：总能量变化率＝单位体积流动能量E 1＋热能净流量E 2＋应力做功E 3＋重力做功E 4 总能量变化率：t
E ∂∂)(ρ 单位体积流动能量E 1：)(1i E E ρν∙-∇=
x 方向：dV x
E dxdydz x E dxdydz x E dydz E dydz E x x x x x ∂∂-=∂∂-=∂∂+
-)()())((ρνρνρννρνρ y 方向：dV y E dydxdz y E dydxdz y E dxdz E dxdz E y y y y y ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ
z 方向：dV z
E dzdxdy z E dzdxdy z E dxdy E dxdy E z z z z z ∂∂-=∂∂-=∂∂+-)()())((ρνρνρννρνρ 热能净流量E 2：)(
2i q E ∇-=
湖南工程学院学报
中国蚕桑丝织技艺设沿着x 轴，y 轴，z 轴方向在单位时间、单位面积流入的热流密度（即热通量）分别为q x ， q y ，q z ：
x 方向：dV x q dydz dx x q q dydz q x x x x ∂∂-=∂∂+
-)( y 方向：dV y q dxdz dy y q q dxdz q y y y y ∂∂-=∂∂+
-)( z 方向：dV z q dxdy dz z q q dxdy q z z z z ∂∂-=∂∂+
-)( 应力做功E 3： )(3i ij j i ij v x v E ∙∙∇=∂∂=σσ 推导原理：dv dF dt
ds dF dt dE F ⋅=⋅= x 方向：
空调风管dV x z xz y xy x xx )(νσνσνσ++∂∂ y 方向： dV y
z yz y yy x yx )(νσνσνσ++∂∂ z 方向： dV z
z zz y zy x zx )(νσνσνσ++∂∂ j
i ij j i ji x x ∂∂=∂∂νσνσσ有，作为 对称张量 重力做功E 4：i i v g E ⋅=ρ4
能量方程张量形式： i i ij i i v g v q E t
E ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂i )()()(ρσρνρ 能量方程全微分形式推导（实用能量方程）：总能量E = 内能U + 动能K 单位体积能量变化率：dt dK dt dU dt dE ρρρ
+= 1. 求解dt
dE 做随体导数展开：E t
E dt dE v ∇∙+∂∂= 同乘以ρ得：E t E dt dE v ∇∙+∂∂=ρρρ 有能量方程张量形式：v v v g q E t
E t E t E ∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∂∂+∂∂=∂∂ρσρρρρ)()()( 有运动方程偏微分形式：
)(v t ρρ∙-∇=∂∂ )(v E t E ρρ∙∇-=∂∂ 带入随体导数形式可得：
E E g q E E t
E t E dt dE v v v v v v ∇∙+∙∇∙+∙∙∇+∇-∙-∇=∇∙+∂∂-∂∂=+ρρρσρρρρρ)()()()(
对第一项做∇运算展开：E E E v v v ∇∙+∙∇=∙∇ρρρ)()( 代入可得：v v g q dt dE ∙+∙∙∇+-∇=ρσρ
)( 2. 求解dt
国术联盟
dU 有：v v g q dt
dK dt dU dt dE ∙+∙∙∇+-∇=+=ρσρρρ)( 其中：dt
dv v dt v d dt m mv d dt dK ⋅===2
22121，所以dt d dt dK v v ⋅=ρρ 代入可得：dt
d g q dt dK dt dE dt dU v v v v ⋅-∙+∙∙∇+-∇=-=ρρσρρρ)( 有运动方程全微分形式：σρρ∙∇+=g dt
d v ， 代入可得： )()()()(σσσρρσρ∙∇∙-∙∙∇+-∇=∙∇∙-∙-∙+∙∙∇+-∇=v v v v v v q g g q dt
dU 有张量恒等式置换： v v v ∇=∙∇∙-∙∙∇:)()(σσσ(其中v ∇为并矢运算)，代入可得： i ij i v q dt
dU ∇+-∇=:σρ 又ij ij ij p τδσ+-=，代入可得：
i ij i i v v p q dt
dU ∇+∇--∇=:τρ
小学课堂教学模式
3. 求解dt dT 内能U 是温度T 和体积V 的函数，其全微分形式为：
dV V U dT C dV V U dT T U dU T V T V )()()(∂∂+=∂∂+∂∂=，其中V V T
U C )(∂∂=………定容比热容； 由热力学第二定律，将dU 写为熵变与体积关系：pdV TdS dW dQ dU -=-=
将其在恒温下对体积求导可得： p V
S T V U T T -∂∂=∂∂)()(
由麦克斯韦热力学函数关系：T V V S T p )()(∂∂=∂∂，代入可得：p T
p T V U V T -∂∂=∂∂)()( 将其代入dU 全微分形式：dV p T
p T dT C dU V V ])([-∂∂+= 写为dt dU 形式：dt dV p T p T dt dT C dt dU V V ρρρ])([-∂∂+= 其中，i v dt d dt d dt d dt dV v ∙∇=∙∇-⋅-=⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)(11112ρρρρρρρρρρ
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