第23卷第3期
2010年9月
聊城大学(自然科学版)
JournalofLiaochengUniversity(Nat.Sci.)
V o1.23N0.3
Sep.2010
热传导方程初值问题解的若干性质
邢家省李争辉
(北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学，信息与行为教育部重点实验室，北京100191)
泰州市大浦中心小学
摘要研究热传导方程初值问题解的性质，利用求解公式给出了热传导方程的解是解析函数 机组乘务员
的直接证明，对初值连续可积条件下，给出齐次热传导方程初值问题解的存在性证明.
关键词热传导方程，初值问题，解析函数
中图分类号0175.29文献标识码A文章编号1672—6634(2010)03—0006—03
文献[1—5]指出热传导方程的解是解析函数，热传导的逆问题的不存在性亦用到这一结果.文献[2—8]
中给出了齐次热传导方程边值问题解是解析函数的证明，然而其中的证明方法过程较为复杂.我们给出了
一
种直接且简单的证明方法，完善了热传导方程的理论证明.
1齐次热传导方程初值问题的解是解析函数的证明
对齐次热传导方程初值问题月亮为什么是红的
fMr一一一_O_..<<+●,o,(1)Iu(x,0)一(z),(一o.<z<+∞),’
利用Fourier变换，可得到形式解
u(x,)一1/20I()’pd5(2)
定理1[1】设(z)在(一∞,+..)上连续且有界，则(2)式确定的函数u(x,)∈C((一oo,+oo)
×[o,+∞)),，在(一∞,+∞)×(o,+C×.)上连续，且(,)是问题(1)的唯一有界的古典解.dtd
X
定理2t卜设(z)在(一o.,+..)上连续，且满足
I()l≤A+&rl,(一..<X<+∞),(3)
其中常数A,B,r>0，则(2)式确定的函数u(x,)∈C((一o.,+..)×[O,+o.)),u(x,)∈COO(R×(O,
+..))，且u(x,f)是问题(1)的古典解.
定理3【10设()∈C(一..,+..)，且()有界，则对每一个>0由(2)式所确定的函数u(x,
￡)是的整解析函数.
证明设复数2∈C，考虑含复参变量的广义积分U(z,￡)一1/2nI()OZ/4a~td，设
l(z)I≤M，对任意t>0固定，存在>0,T>0使得<t<T.对任意r>0，容易知道积分
r()e_(r02/4a2td在lI≤r上是一致收敛的，令(2,)一1/2a,/~-[“(pe_(,-p..rd，显然{(,￡))
是解析函数列，且有{【,(z,￡))在lzl≤r上一致收敛于己,(,f)，由一致收敛的解析函数列的性质定理,
收稿日期:2009-12-28
基金项目：国家自然科学基金资助项目(10771011)
通讯作者：邢家省,E-mail:*************.
第3期邢家省等：热传导方程初值问题解的若干性质7
得U(z,t)关于Il≤r是解析的，从而U(z,)在整个复平面上是解析的，于是，对每一个t>0，初值问题
的解u(x,￡)是的是解析函数.
定理4设(z)∈c(--o.,+oo)，且满足l()l≤A+Be,(一..<<+..)，其中常数A,
B,r>0，则对每一个t>0由(2)式所确定的函数u(x,t)是问题(1)的古典解，且对每一个t>0，齐次热
传导方程初值问题的解u(x,￡)是的整解析函数.
2不存在关于(,t)整体解析解的例子
在文献[12]中证明了，对热传导方程的解u(x,)，当￡>0时,u(x,￡)
是(,)的解析函数.文献[8]中
给出一例，在t≥0上,u(sc,)关于(z,￡)非解析.
例[8热传导方程的柯西问题
ftd,r一”,(一..<<+∞,t>O),…
1甜(,O):1/(1+),(一∞<<+oo),
在坐标原点(O,0)的邻域中不存在解析解.+2)(2s+1)一(一1)”(2s
+2)!/(2s)!，利用数学归纳法，可证得，系数‰.具有如下形状:
U2一(2s+2k)!/((2s)!忌!)(一1)抖,1.t一0,(s≥0，愚≥0).
于是u(x,￡)一:(2s+2k)!/((2s)!忌!)(一1)一t，但此时，这个级数在坐标原点无论怎样的邻
;O?女≥0
域中都不收敛，因为它在任何一点(0,￡),t≠0，级数u(0,)一>:(2愚)!/忌!(一1)t是发散的.
1≥0
3初值连续函数可积条件下的热传导方程的初值问题
定理5设函数厂(z)在区间(一..,+Cx.)内连续且绝对可积，则有积分u(x,)一1/2a
r,()e-(rx)2/4a2t满足热传导方程:a282u及初值条件lim(,￡)：厂(z).J一∞dfdZ一十
证明…当>0，一..<z<+..时,1f(y)erI≤I,()I.而II厂()Idy<+..，故积分仁,()e_曲z/4口d在>0，一..<<+cx3上一致收敛，从而”(z,￡)是>o，一o.<z<+c×.
上的连续函数.
考查下列几个积分
仁(x)2/4a~t一仁rx)2/4a2t(一/4a2t2(5)
国家护理质量数据平台仁(厂~)Z/4aZt)dy=仁x)2/4a2t(—)/zaZt(6)
祝健仁等(一)z/f)d一-『rx)2/4a2tE一1/z+(ymx4z,(7)
先考查(5)式中的积分：由于对IzI≤z.,0<t.≤t≤t(z.,t.,t任意固定)当Il>z.时，有
ff(y)e-~,-./n.r(3,～z)./4atl≤I厂()I.e-(I卜_).,4口.r1.(II+z.)./4a23，而lime-(I【_xo)..1.
(Il+X0)2/4口zt一0，故当II>XO时，有I厂(3,)e一(rz)..(—z)./4ntI≤MIf(y)I，其中M是
化学建材8聊城大学(自然科学版)第23卷
某常数.
于是，根据I一..I厂()I<+∞，由魏氏判别法知,(5)式中的积分在Il≤.To,0<to≤t≤t，上
一
致收敛.
同理可证,(6)式中的积分和(7)式中的积分都在IzI≤Xo,0<to≤t≤t上一致收敛.
于是，在由积分所确定的函数可在积分号下求导，由z.,,￡得任意性知，即得u(x,￡)满足方程一
口磐,(一..<<+o.,￡>o).
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