习 题 5-1
00t xx u u x t -=,
-∞<<∞,>
的Cauchy 问题, 已知初始条件为 (1) ; 0sin t u x =|= (2) 0x t u e -||
=|=;
(3) ; 2
01t u x =|=+ (4) .
2
0t u x =|=+x 2. 设()()x C ϕ∈-∞,∞且具有紧支集(即在一有界集外恒为零), ()u x t ，为Poisson 公式(1.11)给出的热传导方程Cauchy 问题的解, 试证
赛钛客r440
lim ()0t u x t →∞
,=
对一致成立. (x ∈-∞,∞), 3. 求解初值问题
2
0()()00,
t xx t u a u g t u f x t x t u x =⎧-=+,,-∞<<∞,>⎪⎨|=,
-∞<<∞⎪⎩其中a 为常数,()()()[0)()()[0)g t C f x t C ∈,∞,,∈-∞,∞⨯,∞. 4.证明函数
2
2
()()24()2
1
()4()
x y a t V x y t e a t ξητξητπτ-+---,,;,,=- 关于变量x , y , 满足方程 t
2()t xx yy V a V V 0-+=,
关于变量ξ, η, τ满足方程
2()V a V V τξξηη0++=.)
5.证明如果 分别是下述个Cauchy 问题的解:
()(12i i u x t i n ,=,,, n
2
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象征手法22
0()12.
i i
i i t i i u u a t
x u x i ϕ=⎧∂∂=,⎪∂∂⎨⎪
n |=,=,,,⎩
则是Cauchy 问题 121122()()()n n u x x x t u x t u x t u x t ,,,,=,,, ()n n
11222
01122()()()()
n n t x x x x x x t n u a u u u u x x x ϕϕϕ=⎧=+++⎪⎨
加菲盐|=⎪⎩ ,
, 的解.我眼中的冬天
6. 求解Cauchy 问题
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2
0()0(),
t xx x t u a u bu cu f x t x t u x x ϕ=⎧---=,,-∞<<∞,>⎪⎨|=,
-∞<<∞⎪⎩其中为常数. a b c ,,
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