设是个解析函数，，令，则称和是互为共轭函数.
由于和的偏导数满足柯西—黎曼方程
， ，
若和的二阶导数都存在，且关于和的二阶混合偏导数是可交换的，对柯西—黎曼方程求导数，即得
，
因此，和都满足二维的拉普拉斯(Laplace)方程.
金惠敬.
我们称满足拉普拉斯方程的函数为调和函数. 以后，我们会知道，解析函数 的实部和虚部都是调和函数. 这里我们自然要问：给定调和函数或 ，我们能否到一个解析函数，使得所给的或 恰是的实部或虚部？答案是可能的. 若给定的函数或 是满足拉普拉斯方程的初等函数的一个简单组合，则这样的解析函数实存在的. 这时用下述米尔—汤姆松(Milne-Tomson)方法是非常方便的.
明史张溥传由于
，，
，
我们可将这等式看成是两个独立变量和的形式恒等式，置，有
=.
根据柯西—黎曼方程，，因此，若将和分别记为和，则我们有
.
将上式积分之，我们有
， 上网打电话（1—36）
其中是个任意常数.
类似地，若是给定的，令，，我们能证明：
, （1—37）
其中是个任意常数.
例如，设,则
，.
因此
，
故
.
下面我们将讨论可用调和函数描述的一些物理现象.
一、定状态的热传导方程问题
我们知道，热通过物体的传导是能量被转移. 在物体内每一点处热能流动的时间比率能用向量来表示. 在一般情况下，这个向量的长度和方向不随点的位置而变化，而且还随时间而改变. 我们仅限于讨论稳定状态问题，即着热流响亮与时间无关. 这样，在物体内的热传导强度就由时间坐标的向量函数给出. 这样的函数通称为向量场. 在现在情况下，这个向量场成为热流密度场，记为.
由于它与复变理论有紧密地联系，我们这里只讨论二维热流问题，这就是说，这向量场中的向量都平行于某一个平面∏，并且在垂直于∏的任何一条直线上所有的点处，这个场中的向量（就大小与方向来说）都是相等的. 显然，在所有的平行于∏的平面内，这个向量场的情形都完全相同，因此，这个向量场可以由位于平面∏内的向量所构成的一个龙感湖农场平面向量场来完全表示出来. 说到平面内的一条曲线，是意味着一个柱面，而一个区域是意味着一个柱体. 我们把平面∏看成复平面. 现在我们来讨论二维未定热流问题，其边界去面如图1.5所示. 这平板的上下界面被假定是完全绝缘的，没有热量被这绝缘表面所吸收或散发，这平板侧面界面的某部分曲面余热原湘莲（它发出热能），区域的曲面是绝缘的. 热能不可能流进人和绝缘的曲面. 这样，热能密度向量奖杯假定是与任何绝缘边界向切的. 由于假定热源和热沟的性质与坐标轴是无关的，垂直于平面，所以，平板内的向量场仅依赖于变量和. 平板上、下街面的绝缘性保证只有沿轴和95年高考语文第一题轴的分量，就是说，有分量和. 于是便可表示成下述复热流密度形式：
. （1—38）气瓶水压试验
其中，和也都是复数 的函数. 由此可见，二维热能稳定热传导问题只与复数有关.
由于通过任何曲线的热能量是单位时间内通过该曲线的热能的流量，则通过微分弧长的微分热流量为
， （1—39）
其中，是在的外法线方向上的分量；积分
（1—40）
表示向量场经过曲线的热流量，其中是曲线的弧长的微分. 如果用和表示沿曲线的微分，则，其中表示切于曲线的单位向量. 若用表示垂直于曲线的单位向量，则，于是，，所以，（1—40）是可以写成
. （1—41）
热流量的面密度，记经过曲线的热流量对这闭曲线所围面积的比值，当区域收缩成点时所取的极限值，称为向量场在点的散度：
. （1—42）
但是，根据格林(Green)定理，有
. （1—43）
显然
. （1—44）
若在点处，，则称点为流源（有时只有在的情形才称为流源，而使的点称为流沟）. 如果在一个区域内的每一个点处都有
=0. （1—45）
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