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偏微分方程数值解

[原创]偏微分方程数值解法的MATLAB源码【更新完毕】

说明：由于偏微分的程序都比较长，比其他的算法稍复杂一些，所以另开一贴，专门上传偏微分的程序

谢谢大家的支持！

其他的数值算法见：

..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004

1、古典显式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）

function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)

%古典显式格式求解抛物型偏微分方程

%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)

%方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT

%初值条件：u(x,0)=phi(x)

%边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层……

% x -空间变量

% t -时间变量

%输入参数：uX -空间变量x的取值上限

% uT -时间变量t的取值上限

% phi -初值条件，定义为内联函数

% psi1 -边值条件，定义为内联函数

% psi2 -边值条件，定义为内联函数

% M -沿x轴的等分区间数

% N -沿t轴的等分区间数

% C -系数，默认情况下C=1

%应用举例：

%uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1;

%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');

%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);

%设置参数C的默认值

if nargin==7

C=1;

end

%计算步长

dx=uX/M;%x的步长

dt=uT/N;%t的步长

x=(0:M)*dx;

t=(0:N)*dt;

r=C*dt/dx/dx;%步长比

r1=1-2*r;

if r > 0.5

disp('r > 0.5,不稳定')

end

%计算初值和边值

U=zeros(M+1,N+1);

for i=1:M+1

U(i,1)=phi(x(i));

end

for j=1:N+1

U(1,j)=psi1(t(j));

U(M+1,j)=psi2(t(j));

end

%逐层求解

for j=1:N

for i=2:M

U(i,j+1)=r*U(i-1,j)+r1*U(i,j)+r*U(i+1,j);

end

U=U';

%作出图形

mesh(x,t,U);

title('古典显式格式，一维热传导方程的解的图像')

xlabel('空间变量 x')

ylabel('时间变量 t')

zlabel('一维热传导方程的解 U')

return;

古典显式格式不稳定情况

古典显式格式稳定情况

2、古典隐式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）

function [U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)

%古典隐式格式求解抛物型偏微分方程

%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)

%方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT

%初值条件：u(x,0)=phi(x)

%边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层……

% x -空间变量

% t -时间变量

%输入参数：uX -空间变量富迪探索者x的取值上限

% uT -时间变量t的取值上限

% phi -初值条件，定义为内联函数

% psi1 -边值条件，定义为内联函数

% psi2 -边值条件，定义为内联函数

% M -沿x轴的等分区间数

% N -沿t轴的等分区间数

% C -系数，默认情况下C=1

%应用举例：

%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;C=1;

%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');

%[U x t]=PDEParabolicClassicalImplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C);

%设置参数C的默认值

if nargin==7

C=1;

end

%计算步长

dx=uX/M;%x的步长

dt=uT/N;%t的步长

x=(0:M)*dx;

t=(0:N)*dt;

r=C*dt/dx/dx;%步长比

Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素

Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素

Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素

for i=1:M-2

Diag(i)=1+2*r;

Low(i)=-r;

Up(i)=-r;

end

Diag(M-1)=1+2*r;

%计算初值和边值

U=zeros(M+1,N+1);

for i=1:M+1

U(i,1)=phi(x(i));

end

for j=1:N+1

U(1,j)=psi1(t(j));

U(M+1,j)=psi2(t(j));

end

%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward）

for j=1:N

b1=zeros(M-1,1);

b1(1)=r*U(1,j+1);

c86

b1(M-1)=r*U(M+1,j+1);

b=U(2:M,j)+b1;

U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);

end

U=U';

%作出图形

mesh(x,t,U);

title('古典隐式格式，一维热传导方程的解的图像')

xlabel('空间变量 x')

ylabel('时间变量 t')

zlabel('一维热传导方程的解 U')

return;

此算法需要使用追赶法求解三对角线性方程组，这个算法在上一篇帖子中已经给出，为了方便，再给出来

追赶法解三对角线性方程组

function x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)

%追赶法求解三对角线性方程组Ax=b

%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)

%x:三对角线性方程组的解

%L:三对角矩阵的下对角线，行向量

%D:三对角矩阵的对角线，行向量

%U:三对角矩阵的上对角线，行向量

%b:线性方程组Ax=b中的b，列向量

%应用举例:

%L=[-1 -2 -3];D=[2 3 4 5];U=[-1 -2 -3];b=[6 1 -2 1]';

%x=EqtsForwardAndBackward(L,D,U,b)

%检查参数的输入是否正确

n=length(D);m=length(b);

n1=length(L);n2=length(U);

if n-n1 ~= 1 || n-n2 ~= 1 || n ~= m

disp('输入参数有误！')

x=' ';

return;

end

%追的过程

for i=2:n

L(i-1)=L(i-1)/D(i-1);

D(i)=D(i)-L(i-1)*U(i-1);

end

x=zeros(n,1);

x(1)=b(1);

for i=2:n

x(i)=b(i)-L(i-1)*x(i-1);

end

%赶的过程

x(n)=x(n)/D(n);

for i=n-1:-1:1

x(i)=(x(i)-U(i)*x(i+1))/D(i);

end

return;

古典隐式格式

在以后的程序中，我们都取C=1，不再作为一个输入参数处理

3、Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程

需要调用追赶法的程序

function [U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)

%Crank-Nicolson隐式格式求解抛物型偏微分方程

%[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N)

%方程：u_t=u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT

%初值条件：u(x,0)=phi(x)

%边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层……

% x -空间变量

% t -时间变量

%输入参数：uX -空间变量x的取值上限

% uT -时间变量t的取值上限

% phi -初值条件，定义为内联函数

% psi1 -边值条件，定义为内联函数

% psi2 -边值条件，定义为内联函数

% M -沿x轴的等分区间数

% N -沿t轴的等分区间数

%应用举例：

%uX=1;uT=0.2;M=50;N=50;

%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');

%[U x t]=PDEParabolicCN(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N);

%计算步长

dx=uX/M;%x的步长

dt=uT/N;%t的步长

x=(0:M)*dx;

t=(0:N)*dt;

r=dt/dx/dx;%步长比

Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素

Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素

Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素

for i=1:M-2

Diag(i)=1+r;

Low(i)=-r/2;

Up(i)=-r/2;

end

Diag(M-1)=1+r;

%计算初值和边值

U=zeros(M+1,N+1);

for i=1:M+1

U(i,1)=phi(x(i));

end

for j=1:N+1

U(1,j)=psi1(t(j));

U(M+1,j)=psi2(t(j));

end

B=zeros(M-1,M-1);

for i=1:M-2

B(i,i)=1-r;

B(i,i+1)=r/2;

B(i+1,i)=r/2;

end

B(M-1,M-1)=1-r;

%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward）

for j=1:N

b1=zeros(M-1,1);

b1(1)=r*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;

b1(M-1)=r*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;

b=B*U(2:M,j)+b1;

U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);

end

U=U';

%作出图形

mesh(x,t,U);

title('Crank-Nicolson隐式格式，一维热传导方程的解的图像')

xlabel('空间变量 x')

ylabel('时间变量 t')

zlabel('一维热传导方程的解 U')

return;

Crank-Nicolson隐式格式

4、正方形区域Laplace方程Diriclet问题的求解

需要调用Jacobi迭代法和Guass-Seidel迭代法求解线性方程组

function [U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)

%正方形区域Laplace方程的Diriclet边值问题的差分求解

%此程序需要调用Jacobi迭代法或者Guass-Seidel迭代法求解线性方程组

%[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,type)

%方程：u_xx+u_yy=0 0<=x,y<=ub

%边值条件：u(0,y)=phi1(y)

% u(ub,y)=phi2(y)

% u(x,0)=psi1(x)

% u(x,ub)=psi2(x)vgaga

%输出参数：U -解矩阵，第一行表示y=0时的值，第二行表示第y=h时的值……

% x -横坐标

% y -纵坐标

%输入参数：ub -变量边界值的上限

% phi1,phi2,psi1,psi2 -边界函数，定义为内联函数

% M -横纵坐标的等分区间数

% type -求解差分方程的迭代格式，若type='Jacobi'，采用Jacobi迭代格式

% 若type='GS'，采用Guass-Seidel迭代格式。默认情况下，type='GS'

%应用举例：

%ub=4;M=20;

%phi1=inline('y*(4-y)');phi2=inline('0');psi1=inline('sin(pi*x/4)');psi2=inline('0');

%[U x y]=PDEEllipseSquareLaplaceDirichlet(ub,phi1,phi2,psi1,psi2,M,'GS');

if nargin==6

type='GS';

end

%步长

h=ub/M;

%横纵坐标

x=(0:M)*h;

y=(0:M)*h;

%差分格式的矩阵形式AU=K

%构造矩阵A

M2=(M-1)^2;

A=zeros(M2);

for i=1:M2

A(i,i)=4;

end

for i=1:M2-1

if mod(i,M-1)~=0

A(i,i+1)=-1;

A(i+1,i)=-1;

end

for i=1:M2-M+1

A(i,i+M-1)=-1;产能分析

A(i+M-1,i)=-1;

end

U=zeros(M+1);

%边值条件

for i=1:M+1

U(i,1)=psi1((i-1)*h);

U(i,M+1)=psi2((i-1)*h);

U(1,i)=phi1((i-1)*h);

U(M+1,i)=phi2((i-1)*h);

end

%构造K

K=zeros(M2,1);

for i=1:M-1

K(i)=U(i+1,1);

K(M2-i+1)=U(i+1,M+1);

end

K(1)=K(1)+U(1,2);

K(M-1)=K(M-1)+U(M+1,2);

K(M2-M+2)=K(M2-M+2)+U(1,M);

K(M2)=K(M2)+U(M+1,M);

for i=2:M-2

K((M-1)*(i-1)+1)=U(1,i+1);

K((M-1)*i)=U(M+1,i+1);

end

x0=ones(M2,1);

switch type

%调用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组AU=K

case 'Jacobi'

X=EqtsJacobi(A,K,x0);

%调用Guass-Seidel迭代法求解线性方程组AU=K

case 'GS'

X=EqtsGS(A,K,x0);

otherwise

disp('差分格式类型输入错误')

return;

end

%把求解结果化成矩阵型式

for i=2:M

for j=2:M

U(j,i)=X(j-1+(M-1)*(i-2));

end

U=U';

%作出图形

mesh(x,y,U);

title('五点差分格式Laplace方程Diriclet问题的解的图像')

xlabel('x')

ylabel('y')

zlabel('Laplace方程Diriclet问题的解 U')

return;

正方形区域Laplace方程五点差分格式

5、一阶双曲型方程的差分方法

function [U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type)

%一阶双曲型方程的差分格式

%[U x t]=PDEHyperbolic(uX,uT,M,N,C,phi,psi1,psi2,type)

%方程:u_t+C*u_x=0 0 <= t <= uT, 0 <= x <= uX

%初值条件:u(x,0)=phi(x)

%输出参数:U -解矩阵，第一行表示初值，第二行表示第2个时间层……

% x -横坐标

% t -纵坐标，时间

%输入参数:uX -老年人健康码实际使用现状变量x的上界

% uT -变量t的上界

% M -变量x的等分区间数

% N -变量t的等分区间数

% C -系数

% phi -初值条件函数，定义为内联函数

% psi1,psi2 -边值条件函数，定义为内联函数

% type -差分格式，从下列值中选取

% -type='LaxFriedrichs'，采用Lax-Friedrichs差分格式求解

% -type='CourantIsaacsonRees'，采用Courant-Isaacson-Rees差分格式求解

% -type='LeapFrog'，采用Leap-Frog（蛙跳）差分格式求解

% -type='LaxWendroff'，采用Lax-Wendroff差分格式求解

% -type='CrankNicolson'，采用Crank-Nicolson差分格式求解，此格式需调用追赶法

% 求解三对角线性方程组

h=uX/M;%变量x的步长

线粒体dnak=uT/N;%变量t的步长

r=k/h;%步长比

x=(0:M)*h;

t=(0:N)*k;

U=zeros(M+1,N+1);

%初值条件

for i=1:M+1

U(i,1)=phi(x(i));

end

%边值条件

for j=1:N+1

U(1,j)=psi1(t(j));

U(M+1,j)=psi2(t(j));

%U(1,j)=NaN;

%U(M+1,j)=NaN;

end

switch type

%Lax-Friedrichs差分格式

case 'LaxFriedrichs'

if abs(C*r)>1

disp('|C*r|>1，Lax-Friedrichs差分格式不稳定！')

end

%逐层求解

for j=1:N

for i=2:M

U(i,j+1)=(U(i+1,j)+U(i-1,j))/2-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2;

end

%Courant-Isaacson-Rees差分格式

case 'CourantIsaacsonRees'

if C<0

disp('C<0，采用前差公式')

if C*r<-1

disp('Courant-Isaacson-Lees差分格式不稳定！')

end

%逐层求解

for j=1:N

for i=2:M

U(i,j+1)=(1+C*r)*U(i,j)-C*r*U(i+1,j);

end

else

disp('C>0，采用后差公式')

if C*r>1

disp('Courant-Isaacson-Lees差分格式不稳定！')

end

%逐层求解

for j=1:N

for i=2:M

U(i,j+1)=C*r*U(i-1,j)+(1-C*r)*U(i,j);

end

%Leap-Frog（蛙跳）差分格式

case 'LeapFrog'

phi2=input('请输入第二层初值条件函数：psi2=');

if abs(C*r)>1

disp('|C*r|>1，Leap-Frog差分格式不稳定！')

end

%第二层初值条件

for i=1:M+1

U(i,2)=phi2(x(i));

end

%逐层求解

for j=2:N

for i=2:M

U(i,j+1)=U(i,j-1)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j));

end

%Lax-Wendroff差分格式

case 'LaxWendroff'

if abs(C*r)>1

disp('|C*r|>1，Lax-Wendroff差分格式不稳定！')

end

%逐层求解

for j=1:N

for i=2:M

U(i,j+1)=U(i,j)-C*r*(U(i+1,j)-U(i-1,j))/2+C^2*r^2*(U(i+1,j)-2*U(i,j)+U(i-1,j))/2;

end

%Crank-Nicolson隐式差分格式，需调用追赶法求解三对角线性方程组的算法

case 'CrankNicolson'

Diag=zeros(1,M-1);%矩阵的对角线元素

Low=zeros(1,M-2);%矩阵的下对角线元素

Up=zeros(1,M-2);%矩阵的上对角线元素

for i=1:M-2

Diag(i)=4;

Low(i)=-r*C;

Up(i)=r*C;

end

Diag(M-1)=4;

B=zeros(M-1,M-1);

for i=1:M-2

B(i,i)=4;

B(i,i+1)=-r*C;

B(i+1,i)=r*C;

end

B(M-1,M-1)=4;

%逐层求解，需要使用追赶法（调用函数EqtsForwardAndBackward）

for j=1:N

b1=zeros(M-1,1);

b1(1)=r*C*(U(1,j+1)+U(1,j))/2;

b1(M-1)=-r*C*(U(M+1,j+1)+U(M+1,j))/2;

b=B*U(2:M,j)+b1;

U(2:M,j+1)=EqtsForwardAndBackward(Low,Diag,Up,b);

end

otherwise

disp('差分格式类型输入有误！')

return;

end

U=U';

%作出图形

mesh(x,t,U);

title([type '格式求解一阶双曲型方程的解的图像']);

xlabel('空间变量 x');

ylabel('时间变量 t');

zlabel('一阶双曲型方程的解 U');

return;

本文发布于:2024-09-21 14:28:32，感谢您对本站的认可！

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