常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：
1．在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．
解：设BD的中点G，连接FG，EG。在△EFG中 EF＝ FG＝EG＝1
∴∠EGF＝120° ∴AD与BC成60°的角。
2．正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC选址模型和AB的中点．求异面直线SA和EF所成角． 正确答案：45°
3．S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA＝SB＝SC，且ASB＝BSC＝CSA＝，M、N分别是AB和SC的中点．求异面直线SM与BN所成的角的余弦值．
证明：连结CM，设Q为CM的中点，连结QN ，则QN∥SM
∴∠QNB是SM与BN所成的角或其补角
连结BQ，设SC＝a，在△BQN中
BN＝ NQ＝SM＝a BQ＝
∴COS∠QNB＝
4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求BM与AN所成的角．
解：连接MN，作NG∥BM交BC于G，连接AG，
易证∠GNA是BM与AN所成的角．
设：BC＝CA＝CC1＝2，则AG＝AN＝，GN＝BM＝，
cos∠GNA＝。
5．如图，在正方体中，E、F分别是、CD的中点．求与所成的角。
证明：取AB中点G，连结A1G，食品安全在行动FG，
因为F是CD的中点，所以GF∥AD，
又A1D1∥AD，所以GF∥A1D1，
故四边形GFD1A1是平行四边形，A1G∥D1F。
设A1G与AE相交于H，则∠A1HA是AE与D1F所成的角。
因为E是BB1的中点，所以Rt△A1AG≌△ABE, ∠GA1A=∠GAH,从而∠A1HA=90°,
即直线AE与D1F所成的角为直角。
6．如图1—28的正方体中，E是A′D′的中点
(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA′成异面直线；
(2)求直线BA′和CC′所成的角的大小；
(3)求直线AE和CC′所成的角的正切值；
(4)求直线AE和BA′所成的角的余弦值
解：(1)
∵ A 平面BC′，又点B和直线CC′都在平面BC′内，且B CC′,
∴ 直线BA′与CC′是异面直线 同理，正方体12条棱中的C′D′、DD′、DC、AD、B′C′所在的直线都和直线BA′成异面直线
(2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和BB′所成的锐角就是BA′和CC′所成的角
∵ ∠A′BB′=45° ∴ BA′和CC′所成的角是45°
(3)∵ AA′∥BB′∥CC′，故AE和AA′所成的锐角∠A′AE是AE和CC′ 所成的角
在Rt△AA′E中，tan∠A′AE＝＝，所以AE和CC′所成角的正切值是
(4)取B′C′的中点F，连EF、BF，则有EF＝A B ＝AB,
∴ ABFE是平行四边形，从而BF＝AE, 即BF∥AE且BF=AE.
∴ BF与BA′所成的锐角∠A′BF就是AE和BA′所成的角
设正方体各棱长为2，连A′F，利用勾股定理求出△A′BF的各边长分别为
A′B＝2，A′F＝BF＝，由余弦定理得：
cos∠A′BF＝
7. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，若AB=BC=3，AA1=4，求异面直线B1D与BC1所成角的大小。
解法一：如图④，过B1点作B1E∥BC1交CB的延长线于E点。
则∠DB1E或其补角就是异面直线DB1与BC1力月西所成角，连结DE交AB于M，DE=2DM=3，
∠DB1E= ∴∠DB1E=。
解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，
∠C1B1E=135°，C1E=3，∠C1BE=，∴∠C1BE=。
练习：
8. 如图，PA矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值？
9. 在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值.？
中位线平移法：构造三角形中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
解法一：如图①连结B1C交BC1于0，过0点作OE∥DB1，则∠BOE为所求的异面直线DB1与BC1所成的角。连结EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，∴∠BOE= ∴∠BOE=
解法二：如图②，连DB、AC交于O点，过O点作OE∥DB1，过E点作EF∥C1B，则∠OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O点作OM∥DC，连结MF、OF。则OF=，∠OEF=，∴异面直线B1D与BC1所成的角为。
解法三：如图③，连结D1B交DB1于O，连结D1A，则四边形ABC1D1为平行四边形。在平行四边形ABC1D1中过点O作EF∥BC1交AB、D1C1于E、F，则∠DOF或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角。在△ADF中DF=，∠DOF=，∴∠DOF=。
课堂练习
10. 在正四面体ABCD中，已知E是棱BC的中点，求异面直线AE和BD所成角的余弦值。
补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于出平行线。
解法一：济南1875如图⑥，以四边形ABCD为上底补接一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2，连结D2B，则DB1∥D2B，∴∠C1BD2或其补角就是异面直线DB1与BC1所成的角，连C1D2，则△C1D2C2为Rt△，∠C1BD2=－，∴异面直线DB1与BC1所成的角是。
课堂练习：
11. 求异面直线A1C1与BD1所成的角的余弦值。
在长方体ABCD-A1B1C1D1的面BC1上补上一个同样大小的长方体，将A1C1平移到BE，则∠D1BE或其补角就是异面直线A1C1与BD1所成的角，在王羽西△BD1E中，BD1=3，
二、利用模型求异面直线所成的角
模型1 引理：已知平面α的一条斜线a与平面α所成的角为θ1，平面α内的一条直线b与斜线a所成的角为θ，与它的射影a′所成的角为θ2。求证：cosθ= cosθ1·cosθ2。
在平面 的斜线a上取一点P，过点P分别作直线c、b的垂线PO、PB，垂足为O、B
连接OB，则OB⊥b.
在直角△AOP中，.
在直角△ABC中，.
在直角△ABP中，.
所以
筹备好2022年冬奥会体现了我国哪项战略措施所以
证明：设PA是α的斜线，OA是PA在α上的射影，
OB//b，如图所示。则∠PAO=θ1，∠PAB=θ，∠OAB=θ2，
过点O在平面α内作OB⊥AB，垂足为B，连结PB。
可知PB⊥AB。所以cosθ1=， cosθ=，cosθ2=。
所以cosθ= cosθ1·cosθ2。
利用这个模型来求两条异面直线a和b所成的角，即引理中的角θ。
需：过a的一个平面α，以及该平面的一条斜线b以及b在α内的射影。
12. 如图，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a，试求异面直线MB与AC所成的角。
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