武颖丽;李平舟
【摘 要】扭摆法是测量物体转动惯量的有效方法，减小误差是该实验的关键问题。本文分析了扭摆法测物体转动惯量时空气阻力引起的误差，并给出了加载重物之后扭转系数的变化及其对测量误差的影响。结果对测量精度的提高、实验方法选择和仪器研制等方面具有重要的实际意义。%The method of torsion pendulum is an effective method to measure rotational inertia,The most im-portant things of which is the analysis of error. The error coming from air damping is analysis in the measure-ment of inertia moment using torsion Pendulum method. It is given that the variation of the torsion constant after loading the weight and its influence on the measurement of the moment of inertia. The results have impor-tantly practical significance to improve the measurement accuracy,choosing experimental methods and develo-ping laboratory instruments. 【期刊名称】《大学物理实验》
【年(卷),期】2015(000)003
【总页数】3页(P101-103)
【关键词】扭摆法;转动惯量;误差
【作 者】模糊数学模型武颖丽;李平舟
【作者单位】西安电子科技大学，陕西 西安 710071;西安电子科技大学，陕西 西安 710071
【正文语种】中 文
【中图分类】O4-34
扭摆法测转动惯量是大学物理实验中的一个常见实验项目，有关该实验中的误差分析已有相关报道。汤照等从仪器的角度出发讨论扭摆法测量转动惯量实验系统误差的来源［1-5］。郭志荣等将空气的阻尼分为粘性阻尼和压差阻尼，在假设粘性阻尼与速度成正比的情况下得到非线性动力学方程，分析强度不同两种阻尼对刚体转动周期的影响［6］。文章从加载重物后钢丝弹性系数的变化以及空气阻力等因素出发分析扭摆法测量转动惯量的误差。 1 测量原理简介
从扭摆作简谐振动的运动微分方程:
可以得到刚体(如匀质圆盘)的转动惯量为J=KT2/4π2，其中T为扭摆的振动周期，K为钢丝的扭转系数，而K=，d、L、G 分别表示钢丝的直径、长度、切变弹性模量。因此，若已知钢丝的切变弹性模量G，从实验中测得d、L、T就可以用公式计算出匀质圆盘的转动惯量J。
2 空气阻力对测量结果的影响
荧屏错别字
危险化学品安全管理条例扭摆法测转动惯量的基本原理是在振动系统为无阻尼自由振动的条件下进行，即振动一经发生，便永远保持等角振幅的周期运动。但是实际上振动系统在介质(空气)中运动存在阻尼，使得系统角振幅逐渐衰减最终停止，即实际的扭摆振动是属于欠阻尼情况。此时阻力的大小近似与振动速度一次方成正比，即扭摆所受的阻尼可近似看作线性阻尼［6］，则阻尼力矩可以写为
式中K为扭转系数，这时扭摆的运动方程为:
其中α=D/2J，ω0=K/J，解式(3)得到阻尼振动周期为:
式中δ=ln对数减小，φn，φn+1为相邻角位移振幅。假设阻尼比较大，φn/φn+1=1.5，代入式(4)得到周期为:
即不考虑空气阻力测量得到周期T相对于实际值的相对误差为0.1%。
从以上分析可知，空气阻尼对扭摆周期的测量结果影响不大。
3 扭转系数影响分析
公式(6)中隐含条件是将钢丝的扭转系数K看作是常数。而实际测量时，加载待测件后钢丝的长度、直径以及钢丝的切变模量都会有变化，相应的扭转系数K不能看作常量，此时使用公式(6)就会产生误差。这误差有多大?是否可以忽略?搞清这个间题，对于实际测试有很大意义。下面，从理论分析计算与实际测试两方面来讨论这个误差。
四神瓦当
3.1 定性分析
根据相关的理论，扭摆运动过程中还包含有类似三线摆的动力学因素，因此在考虑重力作
用时，推导出扭转系数为:
用扭摆法测量转动惯量的过程中，往往也可以用比较法测量。即用一个可算出转动惯量值的标准件作为基准，设其转动惯量为J2，然后在同样条件下测出标准件与待测件的扭摆周期T2和T1，则待测件的转动惯量J1为
式中m是扭摆质量，g是重力加速度。在钢丝已充分拉直的情况下，扭摆质量增加Δm，(8)式中第二项增加，同时钢丝长度L也会稍有增加，扭转系数的增加量为
式中Y是钢丝的杨氏模量。根据文献［4］，通常材料的切变模量与杨氏模量之比约为0.4，故(8)式近似为
从(8)、(9)两式，采用典型实验装置的有关参数来估算增加质量后扭转系数的相对增加量:设钢丝为直径0.5 mm的钢丝，m与 Δm均为1 kg，L为50 cm时，扭转系数的相对增加量约0.1%。由此可见，当附加物与扭摆本体组合摆动时，由于扭转系数增大，则实测周期小于扭转系数不变条件下的理论周期。
3.2 实际测试
在胡可定律适用范围内，当钢丝承受不同重量的刚体所给予的拉力，钢丝长度L和钢丝直径d将发生变化，钢丝的扭转系数K随之变化，周期T也将不同。现在以实际使用的φ0.28 mm钢丝为例来分析。假设实验中选用的钢丝为φ0.28 mm，钢号是T9A，长度约为3500 mm。由标准YB24S-64查得该钢丝的抗拉强度σp=126 kg/mm2，在胡克定律适用范围内，钢丝所能承受的最大拉力P为:我们的班级
在拉力P作用下，钢丝的伸长量为:
由材料力学知:弹性模量E、剪切弹性模量G、泊松比μ三个弹性常数之间存在下列关系:
其中T9A钢丝的E=210×109N/m2，将G=80×109N/m2代入式(11)得到泊松比μ=0.31。而钢丝横向变形量:
由于L和d在拉力P的作用下都会产生增量，则扭转系数可以写为:
ca127则可以得到Kr是拉力P的函数，两个不同重量物体对应的扭转系数Kr1≠Kr2，公式(6)可以写成:
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