和动能 惯量张量
刚体定点运动的动力学问题. 应用质点系的三个普遍定理, 必须先解决刚体动量、 角动量、 动能的计算问题. 即使用分析力学方法处理, 也有赖于这一问题的解决(动能).
刚体的动量c v m P =.
一、刚体做定点运动时对定点的角动量的计算 定点O , 角速度为ω . 刚体中第i 个质点的质
量为i m 速度为i v 位矢为i r . 则刚体对O 点的角动
量为 i i i v m r L ×=∑
)(i i i r r m ××=∑ω
)]([2ωω ⋅−=∑i i i i r r r m
其中符号∑表示对刚体中所有质点取和.
k j i z y x ωωωω++=
k z j y i x r i i i i ++=
i z x m y x m z y m L i i i z i i i y i i i x ])([22∑∑∑−−+=ωωω
j z y m z x m x y m i i i z i i i y i i i x ])([22∑∑∑−++−+ωωω
k y x m y z m x z m i i i z i i i y i i i x ])([22∑∑∑++−−+ωωω
现引入符号
∑+=)(2
辽宁警网2i i i xx z y m I ∑==i i i yx xy y x m I I ∑+=)(2
2i i i yy z x m I i i i zy yz z y m I I ∑== ∑+=)(2
2i i i zz y x m I ∑==i i i xz zx x z m I I k I I I j I I I i I I I L z zz y zy x zx z yz y yy x yx z xz y xy x xx ][][][ωωωωωωωωω+−−+−+−+−−=
zz yy xx I I I ,，分别称为刚体对x 轴、 y 轴、 z 轴的转动惯量, zx yz xy I I I ,，称为惯量积, 统称为惯量系数.
z zz y zy x zx z z
yz y yy x yx y z
xz y xy x xx x I I I L I I I L I I I L ωωωωωωωωω+−−=−+−=−−=
(1) 惯量系数决定于刚体质量对坐标系的分布.
刚体--连续体, 所以取和--积分
∫∫∫∫∫∫∫∫==+=+=z y x xy m xy I z
y x z y m z y I xy xx d d d d d d d )(d )(2222ρρ
简化之一: 采用与刚体固连的动坐标系, 刚
体质量相对于它的分布不随时间改变, 6个惯量系数将成为常数. 坐标系与参考系不一致! (2) 角动量L 和角速度ω 间存在线性变换关系.
只要给出一个ω , 通过这种变换机制就可求得一个新的矢量L , 其大小
和方向都不同于原来的 ω , 这种线性变换称为
仿射变换.
k I I I j
I I I i I I I L z zz y zy x zx z yz y yy x yx z zz y xy x xx ][][][ωωωωωωωωω+−−+−+−+−−=诺日吉玛
可写成矩阵形式
−−−−−−= z y x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z y x I I I I I I I I I L L L ωωω 9个惯量系数组成的矩阵是一个二阶张量I ,
刚体定点运动对定点的角动量的表达式为
ω ⋅=I L
运算方法与矩阵运算方法相同. 另外, 也可将张量写成并矢形式
imsi
,
.
zz zy zx yz yy
yx xz xy xx I k k I j k I i k I k j I j j I i j I k i I j i I i i I +−−−+−−−= 并矢由两个矢量并列组成, 如k j i i B A ,，等, 两个
矢量间无运算符号. 它的运算规则是以相邻的两个矢量按矢量运算规则进行运算, 如一个并矢与一个矢量的点积为
)()(C B A C B A ⋅=⋅, B A C B A C )()(⋅=⋅
B A B A B A z
k y j x i )()()()(⋅∇=⋅∇=⋅∂∂+∂∂+∂∂
二、惯量张量LIBOR
我们用由9个惯量系数组成的惯量张量
−−−−−−=zz zy zx yz yy yx xz xy xx I I I I I I I I I I 描述定点运动刚体的惯性.
张量与矩阵不同, 矩阵元是单纯的数, 不随坐标变化而不同, 张量则不同, 为了使张量不随描述它的坐标
系不同而变化, 张量的元素就必须满足一定的坐标变换规则. 正如矢量一样, 矢量本身不因坐标系而改变, 而它的投影必须满足一定的坐标变换规则. (*请自学)
若惯量张量的元素满足关系ji ij I I =, 这样的
张量称为对称张量.
惯量张量是描述刚体绕某一定点运动的惯性的物理量, 因此, 惯量张量应属于刚体某一点的.
三、惯量主轴 L 表达式能否进一步简化, 取决于惯量张量I 能否简化.
可以证明通过适当选择坐标系可使惯量张量对角化, 即使所有惯量积为零. 这样的坐标系称为该点的主轴坐标系. 对主轴坐标系, 惯性张量成为
雷死人的小学生作文321000000λλλ 321,,λλλ代表刚体对主轴坐标系的z y x ,，各轴的转动
惯量, 即.,,321zz yy xx I I I ===λλλ 此时
= z y x zz yy xx z y x I I I L L L ωωω0000
00 (A) 即 k I j I i I L z zz y yy x xx ωωω++= (A) k j i ,，为主轴坐标系各轴的单位矢量, z
y x ωωω,，为角速度在该坐标系上的投影.
寻主轴坐标系属于求本征值和本征矢量问
维纳滤波
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议