Experiment 9 Determining moment of inertia
转动惯量的测量在工交、科技和军事部门都具有重要意义。例如电动机的工作性能就依赖于转动惯量的正确设计，直升飞机的飞行稳定性则与它的飞轮的转动惯量密不可分。转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质量分布以及转轴位置有关。对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量。对于质量分布不均匀、几何形状不规则的刚体，用数学方法计算其转动惯量是相当困难的，通常要用实验的方法来测定。因此，学会用实验的方法测定刚体的转动惯量具有重要的实际意义。 实验上测定刚体的转动惯量，一般都是使刚体以某一形式运动，通过描述这种运动的特定物理量与转动惯量的关系来间接地测定。测定转动惯量的实验方法较多，如扭摆法、三线摆法等。本实验是采用三线摆法，要求学生学会用三线摆测定物体的转动惯量的方法，检验转动惯量的平行轴定理，掌握电子秒表的使用方法。
实验原理 Experimental principle
当刚体绕固定轴转动时，刚体在外力矩M的作用下，将获得角加速度β，β与合外力矩M的大小成正比，并与转动惯量J成反比，这一关系叫做刚体的转动定律，其数学表达式为
帝国主义侵华
将转动定律与牛顿第二定律F=ma相比较，就可以看到转动惯量与质点的质量相当，它是刚体在转动中惯性大小的量度。
按转动惯量的定义式
可知，转动惯量J刚体中每个质点的质量mi与这一质点到轴距离的平方的乘积的总和。一般物体的质量可以认为是连续分布的，所以转动惯量的定义式也可写成积分形式
刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布和转轴位置有关。对于形状较简单的等于刚体，可以利用上式计算出绕特定轴的转动惯量。但是，对于形状复杂的刚体，计算就非常困难，故大多用实验方法测定。测定刚体绕一定轴的转动惯量的方法很多，本实验采用三线扭摆法，其原理如下：
三线摆如图1所示，是由上下两个圆盘用三条金属线（图中只画出两条）联结而成，盘的系绳点构成等边三角形。上盘称小圆盘，可使小圆盘绕转轴转过一小角度，用以启动下盘绕固定轴线转动。下盘称大圆盘，也叫做悬盘。三条金属丝所受张力相同，长度也相同。当大圆盘水平、三条摆线等长时，大圆盘可以绕垂直于其盘面并通过其中心的轴线来回转动，转动的同时圆盘的质心O′将沿着转轴上下移动。摆动的周期与圆盘的转动惯量有关。若将被测的物体放在这个圆盘上（物体的质心一定要通过圆盘中心），则系统的摆动周期就变为另一个值。 下面来研究圆盘转动惯量与摆动周期之间的关系。
由于三条摆线长度、张力相同，圆盘摆动对于轴线是对称的，因此我们只分析一条摆线的运动，摆线的长为l，大圆盘、小圆盘半径分别为R、r。当大圆盘相对于小圆盘转过某一小角度θ时（见图2），A点移到A′位置，圆盘上升一高度H。由图可见：
(1)
因为
(2)
而
利用余弦定理可知
所以
(3)
将式（2）、式（3）代入式（1），得
当摆长l很长，摆角θ很小时，式中分母上的h1和h2可认为相等，即
那么
(4)
若最大摆角为θ0，则上升最大高度为
如果忽略空气阻力，则在重力场中系统的机械能守恒
转动动能+平动动能+任一位置重力势能=最高点重力势能
当θ很小（<），l很大时，H必然很小，故平动速度很小，可忽略平动动能，上式变为
(5)
将式（5）对t求导得
(6)
将式（4）对θ求导得
(7)
将式（7）代入式（6）中，得
又因θ很小，角度的正弦可以用弧度来代替，上式变为
（8）
可以看出，摆动的角加速度与角位移成正比，方向相反。因此，这是一简谐运动，圆频率，而简谐运动的周期T=，所以
即
（9）
若将质量为M的物体放在大圆盘上，使其质心位于大小圆盘中心连线上，此时系统的转动惯量为
（10）
式中T10为系统谐振周期，若已测出大圆盘的转动惯量为则物体转动惯量为
（11）
用三线摆也可检验转动惯量的平行轴定理。物体的转动惯量随着转轴的不同而改变，转轴可以通过物体内部，也可以在物体外部。就两平行轴而言，物体对于任意轴的转动惯量Ja，等于通过此物体以质心轴的转动惯量Jc加上物体质量m与两轴间距离平方d2的乘积，这就是平行轴定理，即
实验仪器 Experimental device
三线摆 秒表 米尺 气泡水准器
用秒表测时间间隔时，其误差由两方面决定，一是启动、制动时的误差，二是秒表本身的仪器误差。当用手动控制时以前者为主，后者可忽略掉。我们在实验中进行单次测量时，可取其极限误差为0.1s。为了减小第一项误差，计时的起点应选择在摆动的平衡点处。
实验任务 Experimental assignment
1． 调节三线摆(adjusting three-wire cycloid)
首先调三根摆线等长，然后调大圆盘水平。调水平时可利用气泡水准器，调节底坐上的水平调节螺丝来实现。
2． 测量高度h(measuring the height h)
用米尺测量5次，取平均值（其它参量由实验室给出）。
3． 测大圆盘转动惯量J0(measuring rotary inertia J0 of the large spinning disk)
根据式（9），在和时间赛跑教学设计m、D、d、h都已知情况下，只需测出周期T即可。用电子秒表测5次，每次测50个周期的时间，这样做的好处是可以将测量的准确度提高50倍。
4． 测金属圆环的转动惯量J1(measuring rotary inertia J1 of the metal annulus)
注意金属圆环应放在其质心通过转动轴线的位置上。用电子秒表测1次100个周期的时间，写出周期T的表达式，然后用公式（11）求J1。
5． 验证转动惯量的平行轴定理(verifying the theory of parallel axes of the rotary inertia )
把两个小圆柱体相对于系统转轴对称地放置在大圆盘上，设小圆柱体中心距盘中心为d，测定系统的转动惯量Jd（测100个周期），两个小圆柱体叠放在盘中心时的转动惯量为（测100个周期），那么
比较理论值和实验值，从而验证平行轴定理。
为使转动轴线仍然通过圆盘的质心，必须把两圆柱体严格对称地放在圆盘上，因此，圆盘上刻着彼此间有一定距离的同心圆。
数据处理示例Model for data processing
下面是求大圆盘空载时转动惯量的数据处理示例。
表1 三线摆参数
物 理 量 | m/kg | D/m | d/m | h/m |
最 佳 值 | 1.9975 | 0.20010 | 0.12004 | 0.5862 |
扩展不确定度 | 0.0001 | 0.00002 | 0.00002 | 0.0005 |
| | | | |
表2 大圆盘空载时的摆动周期 单位：s
次 数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
50T | 原始记录 | | | | | |
换 算 | 60.28 | 60.00 | 59.99 | 60.00 | 60.05 |
| | | | | | |
由表2可求与。将数据输入计算器，然后可得
50=60.064s；样本标准差s；平均值的标准差s
单个周期=1.021（s） (12)
=0.001 (s)
扩展不确定度
教育机构客户管理系统将(s)代入得
=0.006（s） (13)
由（12）和（13），T的结果表达式为
(s) (14)
也可写成 （s） (15)
将表1及（百科影音15）中的数据代入（9）式中得
(16)
相对扩展不确定度为
=
无谓空间比较根号内各项数值大小，前三项可做为微小量而忽略不计，最终得到
(17)
由（5）和（6）得大圆盘空载时的转动惯量为
思考题 Exercises
1． 用实验验证三线摆下盘加上重物后，其摆动周期是否变化，说明为什么？
2． 如何测量任意形状的物体绕特定轴转动的转动惯量。
关键词key words
转动惯量moment of inertia, 三线摆trilinear pendulum ，周期period
质量一周立波秀2011Quality, 质心轴center-of-mass axis
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