转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表征刚体特征的一个物理量。测量特定物体的转动惯量对某些研究设计工作都具有重要意义。刚体的转动惯量与刚体的大小、形状、质量、质量的分布及转轴的位置有关。如果刚体是由几部分组成的，那么刚体总的转动惯量就相当于各个部分对同一转轴的转动惯量之和，即 ++=21J J J 对于形状简单的匀质刚体，可以用数学方法直接计算出其绕定轴转动时的转动惯量，但对形状比较复杂或非匀质刚体，一般通过实验来测量。刚体的转动惯量可以用扭摆、三转摆、转动惯量仪等仪器进行测量。
（一）用扭摆法测定刚体的转动惯量
一 实验目的
1. 熟悉扭摆的构造及使用方法，测定扭摆的设备常数（弹簧的扭转系数）K ;
2. 用扭摆测量几种不同形状刚体的转动惯量，并与理论值进行比较；
3. 验证转动惯量的平行轴定理。
二 仪器和用具
扭摆装置及其附件（塑料圆柱体等），数字式计时仪，数字式电子天平， 钢直尺，游标卡尺等。
三 实验装置及原理 扭摆的结构如图4-1所示，在垂直轴1上，装有一个薄片状的螺旋弹簧2，用以产生恢复力矩。在轴1的上方可以安装各种待测物体。为减少摩擦，在垂直轴和支座间装有轴承。3为水准器，以保证轴1垂直于水平面。将轴1上方的物体转一个角度θ，由于弹簧发生形变将产生一个恢复力矩M ，则物体将在平衡位置附近作周期性摆动。根据虎克定律有 θK M -= (4-1) 式中k 为弹簧的扭转系数。而由转动定律有
β
J M = 式中J 为物体绕转轴的转动惯量，β为角加速度，将式4-1代入上式即有
θβJ
K
-= (4-2) 令J K /2
=ω，则有
θωβ2-=
此方程表示扭摆运动是一种角谐振动。方程的解为
罗兰巴尔特)cos(ϕωθ+=t A
式中A 为角谐振动的角振幅, ϕ为初相位角, ω为角谐振动的圆频率。此谐振动摆动周期为
K
J
T π
ω
π
22==
(4-3)
由此可见，对于扭摆，只要测定某一转动惯量已知的物体(如形状规则的匀质物体，可用
数学方法求得其转动惯量)的摆动周期，即可求得扭转系数K ，对其它物体，只要测出摆动周期T ，就可根据式(4-3)求得转动惯量J 。在本实验中，是将待测物体放在载物圆盘上测量其
图4-1 扭摆的结构
转动惯量的，由式(4-3)得
100
1
J J J T T '
+= 或 2
02
12
010T T T J J -=' 式中0J 为载物圆盘绕转轴的转动惯量,0T 为其摆动周期,1
J '为待测物体的转动惯量，它与载物圆盘一起转动的转动周期为1T ，其单独绕轴转动的转动周期为2
02
1T T -。因此
2
211
2
4T T J K -'=π 对于实验中所用的质量为m ，直径为1D 的匀质圆柱体，其转动惯量为2111
8
1
D m J ='，由此可求出弹簧的扭转系数k 。若要测定其它形状物体的转动惯量，只要测其摆动周期T ，利用已知的k 值，由式(4-3)得
2
2
4T
K J π= 根据刚体力学理论，若质量为m 的物体绕通过其质心轴的转动惯量为0J ，则绕距其质心轴平移距离为x 的轴旋转时，转动惯量为
20mx J J += （4-4） 该定理称为转动惯量的平行轴定理。
四 实验内容与步骤
1. 熟悉扭摆的结构及数字式计时仪的使用方法，调整扭摆基座底部螺丝，使水准泡中的气泡居中;
2. 用数字式电子天平测量所有待测物体的质量;
3. 用游标卡尺及钢直尺分别测量各待测物体的几何尺寸;
4. 装上金属载物盘，测量其10次摆动所用时间3次;
5. 将塑料圆柱、金属圆筒分别同轴地垂直放于载物台上，测量其10次摆动所用时间3次;
6. 取下载物盘，分别装上实心球及金属细杆，测量其10次摆动所用时间3次;
7. 将两滑块对称放置在细杆两边的凹槽内，质心离转轴的距离分别为5.00cm,10.00cm,15.00cm,20.00cm,25.00cm，分别测量细杆5次摆动所用时间，验证平行轴定理。
五 数据表格及数据处理
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1. 弹簧扭转系数及物体转动惯量的测定
=-'=2
0211
2
4T T J K π m N ⋅
其中：
细杆夹具转动惯量 410230.0-⨯=J kg ·m 2
球支座转动惯量 410178.0-⨯=J kg ·m 2
两个滑块绕通过质心轴的转动惯量 45
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10406.02-⨯⨯='J kg ·m 2410812.0-⨯=kg ·m 2
单个滑块质量 =m 239.7g
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六 注意事项
1. 弹簧的扭转系数k 不是固定常数，与摆动角度有关，但在40º～90º间基本相同，因此为了降低实验时由于摆角变化过大带来的系统误差，在测量时摆角应取在40º～90º之间，且各次测量时的摆角应基本相同。
2. 光电探头应放置在档光杆的平衡位置处，且不能相互接触，以免附加摩擦力矩。
3. 在实验过程中，基座应始终保持水平状态。
4. 载物盘必须插入转轴，并将螺钉旋紧，使它与弹簧组成固定的体系。如果发现摆动数次之后摆角明显减小或停下，应将止动螺钉旋紧。
七 思考题
1. 在测定摆动周期时，光电探头应放置在挡光杆平衡位置处，为什么?
2. 在实验中，为什么称衡球和细杆的质量时，必须将安装夹具取下?为什么它们的转动惯量在计算中可以不考虑?
开瑞论坛3. 在验证转动惯量平行轴定理时，若两个滑块不对称放置，将采用什么方法验证此定理?
4. 数字式计时仪的仪器误差为0.01s，实验中为什么要测量10T 的时间?
5. 如何估算转动惯量的测量误差或不确定度?
(二) 三线摆周期的研究
一 实验目的
1. 学会测量长度、质量和时间的方法;
2. 了解曲线改直的数据处理方法，得出三线摆周期与转动惯量之间的经验公式。
二 仪器与用具
三线摆装置及样品，气泡水准器，停表，电子天平，游标卡尺，钢直尺等。
三 实验装置与原理
三线摆实验装置如图4-2所示，由上、下两个圆盘用三条悬线联结而成，盘的线系点构成等边三角形，可绕固定在支架的转轴转动。扭转上盘A 给下盘B 一个挠动，则下盘会绕过二圆盘中心的轴O O '作扭摆运动，若摆角甚小，则可视此摆动为角谐振动，因此可假定三线摆系统的摆动周期T 与摆盘系统的转动惯量J 及摆长之间存在如下关系
βαJ kl T = 式中k 为常数。令A kl =α
，则有
βAJ T = （4-5）
式(4-5)说明T 与J 之间是非线性关系，而且只要求出A 和β，即可得T 与J 的函数关系。将
式(4-5)两边取对数后得
J A T lg lg lg β+=
图4-2 三线摆装置
即T lg 与J lg 为线性关系，如果作出tgT ～tgJ 图形，那么该直线的截距为A lg ，斜率为β，即可得三线摆周期T 与转动惯量J 之间的函数关系。
根据刚体力学，对于质量为M ，内、外直径分别为D d ，的均匀圆环，相对于通过其中心轴线的转动惯量为
)(8
1
22D d M J H +=
四 实验内容与步骤
1. 调节立柱铅直。旋转底脚两螺钉从两个不同方向观察，使悬垂线与立柱平行;
2. 用气泡水准器调节下盘B 成水平;
3. 将样品分别放在下盘B 上，并使它们的中心对准下盘B 的中心，扭动上盘A，通过悬线使下盘B 做扭转摆动，测出摆动50个周期的时间t ，并算出周期T ；
4. 用钢直尺测出上、下盘之间的距离H ，用来近似表示摆线长度l ；
5. 用电子天平及游标卡尺分别测量各样品的质量及内、外直径；
6. 选作。 在摆盘系统转动惯量J 不变的情况下，改变摆线长度，分别测量周期i T ，从而
得到三线摆周期T 与摆长l 之间的经验公式。 7．选作。用三线验证转动惯量的平行轴定理。
如图4-3所示，将半径为r ，高为h 的两个圆柱对称放在与B 盘圆心O 相距为x 的位置，测出两圆柱对O O '轴的转动惯量Jx ，将测得的Jx 值与由式(4-4)计算得到的结果相比较，若其相对误差在测量误差允许范围内，则平行轴定理得到验证。
五 数据表格及数据处理
停表分度值 天平分度值 游标卡尺分度值
摆盘转动惯量4
010983.6-⨯=J kg ·m 2 ， =H
氨基酸合成图4-3 验证平行轴定理
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