郭爱鹏，刘伟，杨树
北京邮电大学量子通信实验室，北京 (100876)
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摘 要：在自由空间量子密钥分配中，单光子源采用具有泊松分布的高度衰减激光脉冲，量子密码术协议采用BB84 和B92 协议。通过引入量子信道传输率、单光子捕获概率、测量因子和数据筛选因子，建立了量子误码率理论模型，给出了量子误码率的表达式。对于自由空间量子信道，引起量子误码率的主要因素是光学元件、探测器暗噪声和空间光学环境，并对这些因素进行了分析。针对低轨卫星-地面站间链路和地-地链路，进行了量子误码率的数值仿真研究。结果表明，在低轨卫星-地面站，地面站和地面站间进行量子密钥分配是可行的，限制自由空间量子密钥分配链路距离的主要因素是探测器暗噪声和空间光学环境。 关键词: 量子密码术；量子密钥分配；量子误码率；单光子源
在网络技术和信息技术高速发展的今天，保密通信享有特殊的重要性。保密通信的关键技术是密钥，通信的安全在于保证密钥的安全。量子密码术，确切地说是量子密钥的分配，采用单光子通信技术，通信
双方通过量子信道和经典信道分配密钥，其绝对安全性由量子力学的基本原理来保证。
目前，自由空间量子密钥分配的研究得到了学术界的高度重视。在已经进行的大气光路地面实验中，单光子源采用具有泊松分布的高度衰减激光脉冲，量子密码术协议采用BB84 和B92 协议，量子信息态采用单光子偏振态。量子密钥比特率和量子误码率是量子密钥分配系统的两个重要参数。Buttler 等人基于B92 协议研究了自由空间量子密钥分配的系统效率。Gisin 等人基于BB84 协议研究了量子误码率。针对轨道高度为的低轨卫星-地面站间量子密钥分配，给出了由背景光引起的误码率，但并没有给出相关的理论模型。本文通过引入量子信道传输率、单光子捕获概率、测量因子和数据筛选因子，建立了自由空间量子密钥分配的量子误码率理论模型，对引起量子误码率的主要因素进行了分析，并针对低轨卫星-地面站间链路，地面站-地面站进行了数值仿真研究。
1 量子信道传输率，单光子捕获概率，测量因子和数据筛选因子
对于自由空间量子密钥分配，引入量子信道传输率cha T 和单光子捕获概率acq P 是为了表征发射机和接收机间的光学耦合和损耗, 二者乘积相当于传输和接收效率η或光子到达接收机概率link t 。对于地面点对点、地面站-卫星和卫星-地面站间链路，量子信道传输率是指激光大气传输率。若只考虑大气衰减效应，对于地面点对点链路，量子信道传输率可表示为
)exp(l T cha α−= (1)
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α为大气衰减系数，l 为激光通过大气的传输距离, 对于地面站-卫星和卫星-地面战间链路，量子信道传输率可以表示为
ζsec 0T T cha = (2)
ς为地面站到卫星的天顶角；0T 为天顶（ς=0）大气传输率。对于卫星间链路，由于不存在大气 1=cha T
由于光具有波粒二象性，在光束传输横截面上捕获光子时[1]，只能出现两种情况，一是捕获到一个光子，一是什么也捕获不到。也就是说，光子是作为一个最小单位出现的，这反映了光
子的粒子性。但是在传输横截面上的某一位置，要想准确地捕获到某一个光子是不可能的，只能给出光子出现在某一位置的概率。采用基模高斯型高度衰减激光脉冲作为单光子源，单光子捕获概率可表示为
骗人的把戏[]ββφβθθππrdrd r L r L L P d
e acq ∫∫⎭
⎬⎫⎩⎨⎧++−×=202220220220)sin )()cos (1exp 18 (3) e φ为发射机跟瞄误差；0θ为基模高斯光束远
场发散角；L 为发射机和接收机的链路距离d 为接收机孔径.引起跟瞄误差的主要因素是参照系的运动，系统跟瞄仪器，发射机和接收机的运动以及大气涡流等
在自由空间量子密钥分配中, 引入测量因子mea F 和数据筛选因子sift F 是为了表征量子密钥比特率，二者乘积是量子密码术协议的量子效率ηqua 。由于单光子源采用具有泊松分布的高度衰减激光脉冲，若把量子密码术协议的量子效率作为一个因子处理，将无法对量子密钥比特率进行表征。在实现量子密码术协议过程中，测量因子是接收机在进行量子测量时引入的，它用于表征原始密钥；测量因子是接收机在进行量子测量时引入的，它用于表征原始密钥；数据筛选因子是通信双方在进行数据筛选时引入的，它用于表征筛选密钥。
对于BB84，mea F =1，sift F =2
1 2 量子误码率模型
量子误码率定义为：接收到的误码比特数与总的比特数的比率，记为，其表达式为
sift
error wrong right wrong
R R N N N QBER =+= (4) sift R 为经过数据筛选的量子密钥比特率）包括正码和误码）erro R 为误码的量子密钥比特率。 在自由空间量子密钥分配中，单光子源采用具有泊松分布的高度衰减激光脉冲[2]，在这样的脉冲中包含n 个光子的泊松概率分布为
)exp(!),(µµµ−=n n p n
（5）
µ为每个脉冲平均光子数，假设单光子沿光链路的传输或发射服从二项分布，则接收机至少探测到一个光子的概率可表示为
n mea app acq cha k n mea app acq cha k mea app acq cha n k n F T P T F T P T F T P T k n p )1(1)1()(det det det 11ηηη−−=−×⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=−=≥∑
（6） app T 为系统装置传输率，det η率为单光子探测器量子效。
由上两式可以推出 原始密钥比特率可以表示为
∑∑∞
=≥∞=−−=−−×−==1det det 11)exp(1[])1(1[)exp(!),(n MEA acq cha rep n mea app acq cha n rep n n rep raw F P T R F T P T n
R P n p R R ηµηµµµ]n
（7）
式中rep R 为发射机脉冲重复率。经过数据筛选的两字密钥比特率为
)]exp(1[det mea app acq cha rep sift raw sift sift F T P T R F R F R ηµ−−== （8）
在自由空间量子密钥分配中，引起量子误码率的主要因素是：光学元件，探测器暗噪声和空间光学环境。将这三种引起误码的量子密钥比特率分别记为opt R ， det R ,env R ，则env opt sift env opt QBER QBER QBER R R R R QBER ++=++=det det /)(式中的opt QBER ，det QBER ,env QBER 为相应元素引起的误码率。
2.1光学元件引起的量子误码率分析
对于自由空间量子密钥分配系统，由于光学元件本身的非理想性和未完全对准，使得光子无法到达正确探测器，从而引起误码。
假设光子到达错误探测器的概率为 opt P ，则
opt n mea app acq cha rep sift opt sift opt P F T P T R F P R R ])exp(1[det ηµ−−== （9）
所以光学元件引起的量子误码率为
opt sfit opt opt P R R QBER ==/ （10）
2.2探测器暗噪声引起的量子误码率分析
在自由空间量子密钥分配系统中，探测器暗计数总是存在的，这将引起误码。
假设探测器暗计数率为dark R ，时间窗口为τ，则每个探测器在每个时间窗口记录一个暗计数的概率可表示为
τdark dark R R = （11） 则 2/det N R R R R dark rep sift = N 为探测器数目 ，因子1/2是由于暗记数不总带来误码，暗记数带来正码和误码的概率同为1/2。
ufc116所以探测器暗噪声引起的量子误码率为
)
exp(121/det det det mea app acq cha dark sift F T P T N R R R QBER ηµτ−−== （12） 2.3空间光学环境引起的量子误码率分析
在自由光学环境下，由于背景辐射的存在，背景光子将到达接收机，从而引起误码，对于空间光学环境引起的量子误码率分析，可仿照2.2进行
根据背景辐射源模型即把背景看作是由均匀的辐射源产生[3]，则背景率可表示为
⎩
⎨⎧Ω>Ω−−Ω∆Ω<Ω−−Ω∆=)())(()())((s fv s s fv fv bac A w A w R λλλλ （13） 式中W （λ）为背景辐射谱；λ∆为波长λ附近的带宽；A 为接收机面积；fv Ω为接收机视场角；s Ω为从接收机测量的背景辐射源立体角。则
2/τN R R F R bac rep sift env = （14） 所以空间光学环境引起的误码率为
)
exp(121/det mea app acq cha bac sift env env F T P T N R R R QBER ηµτ−−=
= （15） 最后把上边三个带入得到量子误码率的一般表达式为
)
exp(12det mea app acq cha bac dark opt F T P T R R N P QBER ηµτ−−++= （16） 3. 分析和讨论
由式可知,QBERopt 恒等于Popt ，为一恒量，与链路距离无关，与量子信道传输率和单光子捕获概率无关。对于实际量子密钥分配系统而言,QBERopt 是系统固有的量子误码率，它反映了系统光学元件的适配性。不同的实验系统具有不同的QBERopt ，这反映了实验系统间的光学质量差异。所以,QBERopt 可以作为评价不同量子密钥分配系统的重要标准。可以看出, QBERdet ( 或QBERenv) 完全依赖于探测器暗计数率(或背景率)与量子密钥比特率的比率。对于确定的量子密钥分配系统，探测器暗计数率和背景率保持为恒量，与链路距离无关。而量子密钥比特率则随着链路距离的增加而减少(由于量子信道传输率和单光子捕获概率随着链路距离的增加而减少) 。所以,QBERdet 和QBERenv 随着链路距离的增加而增加。因为QBERopt 与链路距离无关，所以限制自由空间量子密钥分配链路距离的主要因素是探测器暗噪声和空间光学环境。
针对轨道高度为300km 的低轨卫星-地面站间量子密钥分配，对探测器暗噪声和空间光学环境引起的量子误码率进行数值仿真分析。数值仿真采用BB84 协议，基于以下链路模型:1) 卫星运行圆形轨道;2) 地面站位于卫星轨道平面内;3) 最大天顶角为60°。量子密钥分配系统工作在波长770nm 附近。在这一
波长，大气传输率可达80 % ，单光子探测器的量子效率达65 % ，大气的退偏振效应可以忽略。表1 给出了数值仿真中的参数取值，这里没有考虑系统装置传输率和跟瞄误差即Tapp = 1 ,φe = 0 。对于轨道高度为300km 的低轨卫星，在满月时地球背景辐射为1mWm- 2 st r - 1µm- 1 即4 ×1015photons s - 1 m- 2 st r - 1µm- 1 , 在新月时为1014photons s - 1m- 2st r - 1µm- 1 ，在白天为1. 6 ×1019pho2tons s - 1m- 2st r - 1µm- 1。对于满月和新月，干涉滤波器带宽取1nm ；对于白天，采用带宽为10 - 2 nm 的原子滤波器。探测器暗计数率取为50Hz 。
数值仿真参数和能见度如下表1：
表1 数值仿真参数 parameter Value parameter value
λ 770nm fv Ω
5µrad λ∆ 1nm(210
− app T 1 µ
1 T 0 80% τ
1ns d 50cm det η
65% R dak 50Hz 0θ
20µrad C φ 0µrad
在衰减系数为6db/km时卫星-地面站间链路间的仿真关系：
福建省卫生厅图1 传输率随距离的变化曲线图图2 密钥传输率随距离的变化
图3 探测器暗噪声引起的误码率图4 白天的量子误码率
图5 新月时的量子误码率图6 满月时的量子误码率
在衰减系数为0.2db/km时卫星-地面站间链路间的仿真关系:
图7 传输率随距离的变化图8 密钥传输率随距离的变化
月朗星稀夜
图9 探测器暗噪声引起的误码率图10 白天的误码率
图11 新月时的误码率图 12 满月时的误码率
在满月时背景率为369 Hz ，在新月时为9Hz。所以，与探测器暗噪声相比，在满月时量子误码率主要由背景光引起，在新月时主要由探测器暗噪声引起。可以看出，在满月和新月时, 探测器暗噪声引起
的量子误码率都比较小。对于白天，由于背景辐射是满月时的4000 倍，通过采用原子滤波器，背景率为15kHz ，量子误码率比满月和新月时的大，但也可以接受。因此，对于低轨卫星-地面站间链路, 在整个夜晚甚至白天进行量子密钥分配都是可行的。
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