傅立叶变换是如何改变我们生活的？——四个角度告诉你答案 引子：尽管没有微积分那样如雷贯耳的名声，也没有相对论那般独辟蹊径的创新，傅立叶变换却悄悄地潜藏在我们生活中的方方面面，默默地改变着这个世界。
集合与
函数概念
对于工科出身的读者而言，傅立叶分析的第一印象可能是这样的： 傅立叶变换的应用之一——信号处理[1]
在金融分析师眼里，傅立叶变换是这样的：
傅立叶变换的应用之二——时间序列分析[2]
而在数学家眼里，傅立叶变换则像孙猴子一般拥有七十二变：
傅立叶变换的离散版——傅立叶级数
的傅立叶变换——连接分析和数论的桥梁[3]
高效的傅立叶变换算法——快速傅立叶变换（FFT）[3]
傅立叶分析的进化版——调和分析。
图为Littlewood-Paley理论[4]
可见无论在理论还是应用领域，傅立叶变换都是瑰宝级的工具。事实上在信号处理、股票预测、数值模拟、微分方程、数论乃至数据压缩，它都扮演着无可替代的角。 再浩瀚的江河也必有源头；要想深入了解傅立叶变换，得从它的来源说起。那么傅立叶到底是谁呢？
因为“傅”也是百家姓之一，所以笔者首次见到傅立叶变换时，还以为这又是中国古代的一大发明。直到看到傅立叶具有中世纪特的方便面发型和似毛毯外裹的穿着，才知道他并不是中国人：
傅立叶。图片来自网络
傅立叶（1768-1830）出生于法国，是著名的数学家和物理学家[5]。除了傅立叶变换，著名的热方程（Heat equation， 最简单的扩散方程）也出自于傅立叶之手。一个是积分变换，
一个是微分方程，两者貌似互不相关，实际上则存在着千丝万缕的联系，读者们会在接下来文章中有所体会。 此外，大气温室效应也是他通过研究热方程的解首次发现的（当时傅立叶错误地认为海洋像大气一样也具有温室效应）[6-7]。
现在我们对傅立叶变换已经有了初步的认识。那么它是怎样从一个高冷的数学概念“下凡”到日常生活中的呢？带着这个疑问，我们进入第二部分。
天地万物皆循道，信号狼藉索周期
香农熵大家知道太阳光、声音和地震波等信号，都是由不同频率的波（周期函数）混杂而成。
书架上书太多就得分类，那么有没有方法也把这些杂乱无章的信号分个类，比如把波按频率分类出来呢？用数学的语言表述，给定一个函数f（x）（x为实数），我们能不能把f（x）变成另一个和频率k有关的函数，并且用来表示的各个频率成分的表现呢？这就是傅立叶变换的主要任务，而就称之为的傅立叶变换（不同地方的定义可能稍有不同，但本质上都是一回事）：
在实际应用中，我们一般要求具有一些“良好性质”，例如平方可积
这样和之间满足Parseval恒等式。这个恒等式非常美妙，具体细节可参考[3]的第三章）。
然而在理论领域，这些函数通常不愿再“从良”，傅立叶分析就进化成了更加一般的调和分析（Harmonic Analysis），以对付这些不听话的函数。
为简单起见，我们先考虑听话的函数（平方可积函数）。为什么（1）式积分号下会出现项呢？这一项里还有个虚数符号，看起来如少女心一般让人难以捉摸，实际上欧拉恒等式可以告诉我们答案：这样一看就清楚多了——正弦和余弦都是具有周期性的！那么（1）式必然同周期性存在着某种联系！如果读者们还不太相信，下面的动图更加清晰地表现了和两兄弟间的关系：
f（x）（红曲线）被分解为不同频率，然后这些不同频率又重新组合成
当然傅立叶变换周期性还有很多其他应用，下表是一个总结：
具体实例
傅立叶变换的作用
光谱分析
本质上就是提取电磁波的频率成分，可以用傅立叶变换完成。
时间序列分析
时间序列是和时间有关的随机变量，人们通常关注这些随机变量之间的相关性，所谓的谱分析正是因此而生（时间序列“谱”包含了随机变量的相关性信息，和光谱有区别）。谱分析的关键就是对时间的傅立叶变换。
CT扫描（x光）
这类问题是已知波方程的解，要倒回去推导原来的方程长什么样（也就是估计原来方程的参数），数学上又称为反问题（Inverse Problem）或参数估计（Parameter Estimation）问题。傅立叶变换在计算中起到关键作用。
雷达测距（无线电波）
地震测量（地震波）
微分积分各行事，傅式变换穿针线
在上一部分中，我们知道了傅立叶变换是如何与周期性，或者函数的频率产生联系的。事实上傅立叶变换的另一个重要作用在于解微分方程。傅立叶变换是积分变换，怎么运用到微分运算当中去呢？一切都源于傅立叶变换的一个重要性质：
这里表示对作傅立叶变换。大事化小小事化了，上面（3）式提示我们，傅立叶变换可以把复杂的偏微分方程转化为简单的常微分方程，也可以把常微分方程转化更加简单的代数方程！例如考虑同出自傅立叶之手的热方程：
通常情况下只需要转换为常微分方程就足够了，没有必要进一步转换
解一阶常微分方程是非常容易的。不过不要高兴太早，我们得到的解只是关于x的傅立叶变换，还得想办法把给还原出来。其实数学上我们可以证明和它的傅立叶变换具有一一对应的关系，因此只要知道了，热方程的解也就呼之欲出！这个结论可以参考文献[3]的第四章。
因为（3）中美妙的性质（把微分变成指数），傅立叶变换在微分方程领域大显身手。不过
随着自然科学领域各种问题的复杂化，方程也开始变得多种多样（例如初边值条件的差异和方程系数光滑性发生变化等等），方程的解也越发地奇形怪状。上有政策下有对策，调和分析这一新兴领域随之破壳而出；尽管身份似已改头换面，其核心思想仍然是傅立叶分析。本文第六部分还会对此展开进一步讨论。
抽象代数示玄机，解析数论展天威
相信现在读者们已经了解到傅立叶变换的强大威力了：从光谱分析到CT成像，再到微分方程的解，可以说只要和自然科学有关，傅立叶分析就无处不在。
然而这就是傅立叶变换的全部威力了吗？非也！令很多人意外的是，在晦涩难懂的数论领域，傅立叶变换也发挥着至关重要的启发性作用。身毒丸
傅立叶变换不是定义在实数上的吗，怎么能运用到离散的数论上去呢？这就要靠数学家们的伟大创造力了——既然实数上可以定义傅立叶变换，那么我们也可以在代数上定义傅立叶变换。
这种定义的难点在于代数和实数不同，一般说来前者是没有“连续性”的概念的（这里不
考虑连续），所以不能通过积分来定义的傅立叶变换。不过表示理论里面的一个重要概念——特征标（Character）为傅立叶变换的定义铺好了道路。一个G的特征标定义为G上的某种函数：
其中“”表示里面的抽象“乘法”运算，不一定是实数的乘法。表示一个圆圈，可以用来表示（下图是一个例子）。这样，G中元素a的傅立叶变换就是 [3]。
把傅立叶变换移植到那么抽象的代数上面干什么呢？事实上，用这个概念可以证明数论中一个非常美妙而简洁的结论：如果a和d是互素的整数，那么数列
中有无穷多个素数。这个结论又称作狄利克雷定理[11]。
中国人民外交学会
有高等数学背景的读者也许对“狄利克雷”这个名字并不陌生。狄利克雷是德国数学家，比傅立叶晚几十年出生，并且在解析数论（用复分析的方法研究数论）领域有很多杰出贡献[12]。粗略地讲，为了证明上面这个结论，狄利克雷对循环（也就是正整数的同余类）定义了一种特殊的特征标——狄利克雷特征标，并利用这个特征标引入了L函数的概念：
通过研究这个函数的敛散性，就能证明狄利克雷定理，有兴趣的读者可以参考文献[3]的最
后一章。
砍瓜切菜破概率，化零为整道极限
眼看着傅立叶变换在工程、微分方程和数论等不同领域大显身手，统计学家们坐不住了：“有没有办法把傅立叶变换应用到概率统计中呢？”答案是肯定的，这就是概率论中著名的
特征函数
（Character Function）。对于一个实值随机变量X，概率分布函数为, 它的特征函数（傅立叶变换）被定义为：
红歌会
特征函数是概率论和数理统计中一个极为强大的工具，很多著名的结论都是通过特征函数来证明的。例如中心极限定理，强大数律等。傅立叶变换之所以能在概率统计也能自成一派，究其根底，是源于它的另一个性质（把两个测度或函数的卷积变为常规乘法）：
其中
表示和的卷积（Convolution）。卷积在概率统计中是非常重要的——假设X和Y是独立随机变量， 分别是对应的概率分布函数，那么新随机变量Z := X+Y的概率分布函数就是 。氯仿
以此类推，假设
是n个独立随机变量（不要求同分布），那么
的分布函数就是
。卷积涉及到积分运算，很麻烦，有没有办法把卷积化简称为一般的乘积呢？
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