摘要
本文主要针对CT系统的参数标定以及成像进行研究，在大致介绍CT设备及其成像原理的基础上，对题目所给问题进行分析计算解答，并采用基于滤波反投影重建算法的逆Radon 变换等算法对数据进行处理分析，得出结果，经过误差分析后，与CT系统自身特点相结合，结果比较理想。
问题一：根据X射线与标定模板的特殊位置如图（4）和图（8），两位之间角度90o，分析特殊位置图形，然后用MATLAB软件可画出CT系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次的图，到与特殊位置图形描述相近的图形，发现两特殊位置旋转次数差为90次，由此确定X射线的180个方向，探测器单元之间的距离=椭圆的长轴长/长轴长投影在探测器上单元的数量，由于旋转中心的位置和椭圆中心的位置相对不变，所以根据x和y的偏移量来确CT系统旋转中心在正方形托盘的位置。 问题二：建立CT系统滤波反投影重建算法，用ir adon函数对附件2接收信息数据逆变换，即可得到出未知介质的吸收率，未知介质的几何形状，位置等信息。 问题三：由题意可知，该题同问题二相似，只是要求求另一种未知介质的相关信息，所以此题所用数学方法和问题二相同。
问题四：题目所给标定模型存在一定的规律性，并且容易受外界环境的影响，因此计算得到的CT系统参数存在误差。所以我们自行设计了新的模板来改进标定精度和稳定性。
关键词：特殊位置、滤波反投影重建算法、逆Radon变换
一、问题重述
CT可以在不破坏样品的情况下，利用样品对射线能量的吸收特性对生物组织和工程材料的样品进行断层成像，由此获取样品内部的结构信息。一种典型的二维CT系统是平行入射的X射线垂直于探测器平面，每个探测器单元看成一个接收点，且等距排列。X射线的发射器和探测器相对位置固定不变，整个发射-接收系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次。对每一个X射线方向，在具有512个等距单元的探测器上测量经位置固定不动的二维待检测介质吸收衰减后的射线能量，并经过增益等处理后得到180组接收信息。
CT系统安装时往往存在误差，从而影响成像质量，因此需要对安装好的CT系统进行参数标定，即借助于已知结构的样品（称为模板）标定CT系统的参数，并据此对未知结构的样品进行成像。
请建立相应的数学模型和算法，解决以下问题：
(1) 在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模板，模板的几何信息如图2所示，相应的数据
文件见附件1，其中每一点的数值反映了该点的吸收强度，这里称为“吸收率”。对应于该模板的接收信息见附件2。请根据这一模板及其接收信息，确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单元之间的距离以及该CT系统使用的X射线的180个方向。
(2) 附件3是利用上述CT系统得到的某未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，确定该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率，相应的数据文件见附件4。
(3) 附件5是利用上述CT系统得到的另一个未知介质的接收信息。利用(1)中得到的标定参数，给出该未知介质的相关信息。另外，请具体给出图3所给的10个位置处的吸收率。
(4) 分析(1)中参数标定的精度和稳定性。在此基础上自行设计新模板、建立对应的标定模型，以改进标定精度和稳定性，并说明理由。
(1)-(4)中的所有数值结果均保留4位小数。同时提供(2)和(3)重建得到的介质吸收率的数据文件（大小为256×256，格式同附件1，文件名分别为problem2.xls和problem3.xls）
斯蒂文斯
二、问题分析
青岛信报CT系统是运用物理技术，以测定X射线在人体内的衰减系数为基础，采用数学方法，经计算机处理，求解出衰减系数值在人体某剖面上的二维分布矩阵，转变为图像画面上的灰度分布，从而实现重新建立断面图像的现代医学成像技术[1]。本题给定了标定模板，用标定模板求出CT系统参数，并用该系统求解其他未知介质。
问题一：根据题目的意思，要求我们根据给定的标定模型以及标定模型的数据算出CT 系统的旋转中心，探测器单元之间的距离以及CT系统旋转的180个方向。我们取附件2中
的特殊数据，及X射线追至于标定椭圆模板长轴及短轴时的数据可以算出这些CT系统的参数。
问题二：题目给出了未知介质的接受信息，在MA TLAB图像工具箱中提供了iradon函数，该函数使用
滤波反投影算法可根据接受信息算出未知介质的吸收率，从而得到未知介质的几何形状和位置信息。
问题三：该题与问题二类似，给出了另一个未知介质的接收信息，同样可以用iradon 函数得到该未知介质的吸收率，几何形状和位置等信息。
问题四：题目所给标定模型存在一定的规律性，并且容易受外界环境的影响，因此计算得到的CT系统参数存在误差。所以我们自行设计了新的模板来改进标定精度和稳定性。
三、模型假设
1、假设题目所给的数据都是准确的。
2、假设题目给定的标定模板不受外界环境影响。
3、假设正方形托盘水平且与X射线在同一平面上。
4、假设CT系统匀速旋转。
四、定义符号与说明
1、假设探测器单元之间的距离为d。
8射线平行入射旋转角度θ。
2、从图4到图X中大博济
3、从旋转中心旋转61次到旋转中心旋转151次的角度α
4、图2与图6旋转中心旋转次数相差x
5、旋转中心旋转一次的角度β1。
6、说明其起始位置是和x轴成的夹角β。
奔跑女孩钱运星现状7、椭圆长轴长的长度x1。
8、探测器这一列（即为第61列），有数据的长度x2。
9、CT系统旋转中心在正方形托盘的位置(x,y)
伯乐就是你自己阅读答案10、方形托盘与吸收率个数的比例z
nino五、模型的建立与求解
5.1问题一的模型建立与求解
5.1.1 CT系统使用的X射线的180个方向
模型的建立：根据题目附件（2）所给接收信息的数据利用MATLAB画出整个CT系统绕某固定的旋转中心逆时针旋转180次的动态模型图（代码见附录），将所得的动态图与题目所提供的模板示意图对比发现，射线穿过物体的长度越长，物体吸收的能量则越大。当假设射线垂直于椭圆长轴射入时，数据具有极高的对称性，因此我们根据这一结论选取如下旋转第60次，61次，62次的图像进行进一步确定分析。
从以上的图像可以看出，第61次处于最中间，由此我们可以判定，在CT系统旋转61次的时候探测板接收到的信息与射线垂直于长轴射入探测板接收到的信息大致一致。再假设当X射线垂直于椭圆的短轴方向射入时，由于射线穿过的物体长度越长，吸收强度越大，所以当沿着椭圆长轴射入时，图像应该处于动态图的最高点，根据这一结论选取如下旋转第150次，151次，152次的图像进行进一步确定。
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