辛业月科技iM 云2019年第18卷第5期
□钟杨梅赵玉张玉林
【内容摘要】本文主要基于2017年数学建模A 组试题的数据，研究二维CT 系统的旋转中心及参数标定。根据特殊位置和几 何模型来计算出系统探测器单元的距离及该系统的旋转中心。
【关键词】CT 系统；旋转中心；射线方向；探测器距离 ｛基金项目】本文为国家级大学生创新创业训练计划项目（编号=201714389029）研究成果。【作者单位］钟杨梅，赵玉；成都师范学院
【通讯作者】张玉林（ 1984.3 ~），女，山东济南人；成都师范学院数学学院副教授，博士；研究方向：数学建模
CT 技术是20世纪50 ~70年代通过核物理、核医学等领
域的一系列研究和实验发明的。CT 系统的参数标定要求根
据模板和接收信息。确定3个参数，分别是CT 系统旋转中
心在正方形托盘中的位置、探测器单元的间距和X 射线旋转
的180个角度。
图1模板示意图（单位:mm ）
一、 标定模板的相关信息
在正方形托盘上放置两个均匀固体介质组成的标定模 板，模板的几何信息如图1所示，相应的数据文件见2017年
数学建模比赛附件1和附件2。根据这一模板及其接收信
息，确定CT 系统旋转中心在正方形托盘中的位置、探测器单
元之间的距离以及该CT 系统使用的X 射线的180个方向。二、 特殊位置分析
（一） 大小圆分离。只要椭圆和小圆在某个投影方向不
重叠，根据X 射线穿过物体的厚度不同吸收率不同的原理,
先获得小圆投影后的吸收值的最大值，该最大值对应于小圆
的直径即8mm 。因为小圆在任何一个方向上面的投影都是 一致的，根据附件2的数据寻能够单独反映小圆的吸收数 据，计算小圆的直径8mm 对应的吸收传感器个数，可以初步 获得结果，再考虑因为在与小圆相切的地方没有吸收，因此 实际的传感器个数与实际的距离需要进一步计算确定，即可
确定探测器单元之间的距离。
（二） 垂直射入。当垂直射入时，因为椭圆和小圆是均匀 的，所以穿过椭圆长轴吸收的光能量是最多的，根据附件2 的数据，到数据的最大能量数据，并且到最左边的那个
传感器序号，最右边传感器序号，因此，得到总的传感器个
数，改组数据的接收传感器阵列在最左边，并且其法线与x
轴的夹角为180。。中心传于180。的接收位置，根据偏移的传
感器个数就能得到旋转中心纵坐标。
（三）水平射入。当水平射入时，穿过椭圆短轴吸收的能 量是最少的，但叠加了小圆吸收的能量，所以能量吸收会出
现突起，根据附件2数据，到这个突起数据，计算出旋转中
心的横坐标。
三、相关原理及计算
（一）探测器之间的距离计雾。假设整个系统的中心在 正方形托盘的中心，设为系统的几何中心，标记为（x°,y 。），假 设探测器之间的距离为d 毫米。
图3 X 光线与小圆的关系图
北京中国城夜总会设nii ：i = 1,2为圆最左、最右的能量；mM “：圆接收的最
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于吐与科妆云
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汤永涛大能量;x i ：i = l,2为接收能量所对的长度；dP 为探测器数 目，则有：箸* 1 =守= R 2 3
-x ：,l = APd,h +12 =1.【参考文献】
[1] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型(第四版)[M].北京：高
等教育出版社,2011
[2] 郭殳倩.CT 系统标定与有限角度CT 重建方法的研究
[D].大连理工大学,2016
[3] 高上凯.医学成像系统[M].北京：清华大学出版社,2010
如图2所示，这个方向上获得的512个传感器数据可以 看出，椭圆和小圆是分离开来的，因此可以根据类似于这样
的数据来计算传感器的间距do 首先计算出X 射线照射到小 圆上的投影值，本例计数为29个传感器数据。如图3所示，
但是在这29个传感器数据中，有一个值最大为14.1769，这 个位置刚好对应于小圆的直径位置，而直径为8mm ，因此，单密特朗总统
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位长度的数值为14.1769/8，可以根据小圆的第1个传感器
数据和第29个传感器数据计算出对应小圆的那两条弦的长
度，根据勾股定理,29个传感器之间的距离为II +12，后面通
过计算10组数据，求平均获得为7. 7504m 叫因此这里面包
含有29个探测器，距离有28个，因此28传感器之间的距离
为 d =0. 2768mm o
(二) CT 旋转中心。首先假定旋转中心为探测系统的几
何中心0，以椭圆长轴方向与短轴方向建立坐标系。探测器
平面上的中心点的点位P 。，点位差即探测器数目为AP.AP
的正负代表平移的方向。
当探测器平面水平放置时结合附件1与附件2确定探测
器上的具体点位P, ,x 轴方向平移了 = P| - P 。个探测器。
整个发射器和探测系统经过逆时针旋转90。后，在垂直方向 上结合附件1与附件2确定垂直方向上探测器的具体点位
P 2o y 轴方向平移了 AP 2 =P 2-P o 个探测器。
探测器单元之间的距离为d，平移距离h = |P, -P|d，垂 直距离12= |P 2-P Id，根据水平和垂直方向上探测器平面中
心位置的偏移来确定旋转中心的位置(a,b)o 其中a = l,,b
=】2。
根据附件2的数据，第61组数据的最大能量数据为
67. 3529，并且最左边的那个传感器序号为90号，最右边传感
器序号为378，因此，总的传感器数为289个，而椭圆的y 方
向的长轴为2b = 80mm，约为289 * 0. 2768 =79.9952，可以认
为第61组数据的接收传感器阵列在最左边，并且其法线与x 轴的夹角为180。。90号传感器与378号传感器的中心是第
234个传感器，而处于180。的接收位置，如果CT 系统中心没
有偏移，那么就应该是第255或者第256号传感器接收到这
来自穿射椭圆和小圆中心的X 射线过来的能量。因此，传感
器相差256 - 234 = 22个，或者255 - 234 = 21个，根据图解，可
以获得这个21或者22就是旋转中心的纵坐标b，因此b 的范 围为 5. 5360mm ~5. 8128mm 之间，取 22 个，即 b =5. 8128mm 。
同理，寻水平射入位置来计算旋转中心的横坐标，考
虑到附件2中第151组数据，发现，最左的传感器与最右边的
传感器跨度为232个，而椭圆的中心差异为32个传感器距
离，这刚好是旋转中心横坐标(32 - 1)*0. 2768 =8. 5808mm,
因椭圆中心0对应过去的传感器序号224比理想的256小，
说明旋转中心的横坐标在左半平面，因此a = - & 5808mm 。
(三) CT 的180个射线方向。如图4所示，若a 是附件2
第i 组数据的探测器的法线与x 轴正方向的夹角，确定后该
角度后X 射线入射方向即定了。经过线性拟合得到旋转次
数与旋转方向的关系6 = 1.0060k + 11&5302，其00 =
11& 5302且每次以1. 0060。线性变化。
原理：先计算某组数据中最左边和最右边非零值传感器
图】旋转角度建模示意图
记号，再确定右边相对位置，分别为P 和Q 传感器,N 点是旋
转半径上面的切点，与探测器的线相切，并且N 点的位置固
定对应于传感器序号为224号。设几何中心为原点0(0,
0)，旋转中心为(a,b)，然后旋转圆为0，，圆0，与探测器相切
于N 。圆0'方程为：广：+ ：吨
(1)
[y = b + Lsina
N 点得坐标为：N ( X n , yN )，且心=a + Lcosa , y N = b + Lsina ;
P 点得坐标为:P( Xp ,y P )，且 x P = Xp ( — L PN cosO , y? =
—
L PN sin0;
Q 点得坐标为:Q ( X q , )，且 X q = + L N q cos0, Y q = X n
+ Lg ;
其中丄旳是最左边与非0值间传感器之间的距离；L 刑是
最右边与非0值传感器224之间的距离；同理是最右边的那
个非零值传感器到N 点的距离L nqo 设a 为所求角，过P 点
与Q 点的切线匚与匚必定与椭圆或小圆相外切。则有，过
P 点匚的方程：
y -y p = tana(x -x P )
(2)过Q 点J 的方程：
y-y<? =tana(x -X q )
(3)
把附件2第1组数据代入后，计算获得的结果。计算的 误差设置为0.3mm，也就是2个传感器距离内。这时获得的
角度为11&4。，显然旋转角度为11&4。-90。为28.4。。为了
统一方便，这里只求解接收阵列的法线的倾斜角度。计算获
得第61组数据，角度为179.9。，第151组数据的角度为
270. 4。，以及最后一组数据的结果为29& 4。。
(四)总结。本文针对矫正问题建立了实际投影数据与
理想投影数据之间的转化模型，算法表明本文获得了比较满
意的建模结果。稍微不足之处是，因为圆形出现在了模板上
郑渊洁博客
面，它对于寻旋转中心和寻旋转角度帮助不是非常大，
这导致模型的稳定性和准确性难以有高的保障，可采用两个 椭圆的矫正模板来改善模型的精度和稳定性问题。
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本钢女老板张晓芳Industrial & Science Tribune 2019 (18)
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