2007年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（江苏卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．
1．下列函数中，周期为的是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．已知全集，，，则为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．在平面直角坐标系中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，一条渐近线的方程为，则它的离心率为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．已知两条直线，两个平面．给出下面四个命题：
①，；②，，；
③，；④，，．
其中正确命题的序号是（ ）
Ａ．①、③ Ｂ．②、④ Ｃ．①、④ Ｄ．②、③
5．函数的单调递增区间是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．若对于任意的实数，有，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．设是奇函数，则使的的取值范围是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．已知二次函数的导数为，，对于任意实数，有，则的最小值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 汪洪超
二、填空题：本大题共慢性病6小题，每小题5分，共计分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
11．若，，则_____．
12．某校开设门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修门，共有_____种不同的选修方案．（用数值作答）
几何画板实验报告13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，，则_____．
14．正三棱锥的高为，侧棱与底面成角，则点到侧面的距离为_____．
15．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在椭圆上，则_____．
16．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合．将两点间的距离表示成的函数，则_____，其中．
三、解答题：本大题共5小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分12分）
某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后第2位）：
（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）
（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）
（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．（4分）
18．（本题满分12分）
如图，已知是棱长为的正方体，
点在上，点在上，且．
（1）求证：四点共面；（4分）
（2）若点在上，，点在上，
，垂足为，求证：平面；（4分）
（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．（4分）
19．（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点．
（1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）
（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）
20．（本题满分16分）
已知是等差数列，是公比为的等比数列，，，记为数列的前项和．
（1）若（是大于的正整数），求证：；（4分）
（2）若（是某个正整数），求证：是整数，且数列中的每一项都是数列中的项；（8分）
（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个数码相机如何选择的值，并加以说明；若不存在，请说明理由．（4分）
21．（本题满分16分）
已知是不全为零的实数，函数，
．方程有实数根，且的实数根都是的根；反之，的实数根都是的根．
（1）求的值；（3分）
（2）若，求的取值范围；（6分）
（3）若，，求的取值范围．（7分）
2007年普通高等学校招生全国统一考试
数 学（江苏卷）参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算．每小题5分，共计50分． 1．Ｄ 2．Ａ 3．Ａ 4．Ｃ 5．Ｄ 6．Ｂ 7．Ｂ 8．Ａ 9．Ｃ
10．Ｂ
二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，共计30分．
11． 12． 13． 14． 15． 16．
三、解答题
17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生的概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：（1）次预报中恰有次准确的概率为
．
（2）次预报中至少有次准确的概率为
．
（3）“次预报中恰有次准确，且其中第次预报准确”的概率为
．
18．本小题主要考查平面的基本性质、线线平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力．满分12分．
解法一：
（1）如图，在上取点，使，连结，，则，．
因为，，所以四边形，都为平行四边形．
从而，．
又因为，所以，故四边形是平行四边形，由此推知，从而．
因此，四点共面．
（2）如图，，又，所以，
．
因为，所以为平行四边形，从而．
又平面，所以平面．
（3）如图，连结．
因为，，所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因为，所以
，
．
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，
而，由题设得，
得．
因为，，有，
又，，所以，，从而，．
故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，解得，，所以．
又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是．
故．
19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线的位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力．满分14分．
解：（1）设直线的方程为，
将该方程代入得．
令，，则．
因为，解得，
或（舍去）．故．
（2）由题意知，直线的斜率为．
又的导数为，所以点处切线的斜率为，
因此，为该抛物线的切线．
（3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设pgl2008．
若为该抛物线的切线，则，
又直线的斜率为，所以，
得，因，有．
故点的横坐标为，即点是线段的中点．
20．本小题主要考查等差、等比数列的有关知识，考查运用方程、分类讨论等思想方法进行分析、探索及论证问题的能力．满分16分．
解：（1）设等差数列的公差为，则由题设得，，且．
由得，所以，
．
故等式成立．
（2）（ⅰ）证明为整数：
由得，即，
移项得．
因，，得，故为整数．
（ⅱ）证明数列中的每一项都是数列中的项：
设是数列中的任一项，只要讨论的情形．
令，即，
得．
因，当时，，为或，则为或；
而，否则，矛盾．
当时，为正整数，所以为正整数，从而．
故数列中的每一项都是数列中的项．
（3）取，，．
．
所以，，成等差数列．
21．本小题主要考查函数、方程、不等式的基本知识，考查综合运用分类讨论、等价转化等思想方法分析问题及推理论证的能力．满分16分．
解：（1）设为方程的一个根，即，则由题设得．于是，
，即．
所以，．
（2）由题意及（1）知天下第一蛋，．
由得是不全为零的实数，且，
则．
方程就是．①
方程就是．②
（ⅰ）当时，，方程①、②的根都为，符合题意．
（ⅱ）当，时，方程①、②的根都为，符合题意．
（ⅲ）当，时，方程①的根为，，它们也都是方程②的根，但它们不是方程的实数根．
由题意，方程无实数根，此方程根的判别式，得．
综上所述，所求的取值范围为．
（3）由，得，，
．③
由可以推得，知方程的根一定是方程的根．
当时，符合题意．
当时，，方程的根不是方程 ④
的根，因此，根据题意，方程④应无实数根．
那么当，即时，，符合题意．
当，即或时，由方程④得，
即，⑤
则方程⑤应无实数根，所以有且．
当时，只需，解得，矛盾，舍去．
当时，只需，解得．
因此，．
综上所述，所求的取值范围为．
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