2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学
（全卷满分160分，考试时间120分钟）
棱锥的体积，其中为底面积，为高．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．（2012年江苏省5分）已知集合，，则 ▲ ．
【答案】。
【考点】集合的概念和运算。
【分析】由集合的并集意义得。
2．（2012年江苏省5分）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．
【答案】15。
【考点】分层抽样。
【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由知应从高二年级抽取15名学生。
3．（2012年江苏省5分）设，（i为虚数单位），则的值为 ▲ ．
【答案】8。
【考点】复数的运算和复数的概念。
【分析】由得，所以， 。
4．（2012年江苏省5分）下图是一个算法流程图，则输出的k的值是 ▲ ．
【答案】5。
【考点】程序框图。
【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：
| 是否继续循环 | k | |
循环前 | | 0 | 0 |
第一圈 | 是 | 1 | 0 |
第二圈 | 是 | 2 | －2 |
第三圈 | 是 | 3 | －2 |
第四圈 | 是 | 4 | 0 |
第五圈 | 是 | 5 | 4 |
第六圈 | 否 | 输出5 开心网001 | |
| | | |
∴最终输出结果k=5。
5．（2012年江苏省5分）函数的定义域为 ▲ ． 【答案】。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
。
6．（2012年江苏省5分）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ．
【答案】。
【考点】等比数列，概率。
【解析】∵以1为首项，为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，
∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是。
7．（2012年江苏省5分）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 ▲ cm3．
【答案】6。
【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。
∴四棱锥的体积为。由
8．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． 【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴，即，解得。
9．（2012年江苏省5分）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是 ▲ ．
【答案】。
【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义。
【解析】由，得，由矩形的性质，得。
∵，∴，∴。∴。
记之间的夹角为，则。
又∵点E为BC的中点，∴。
∴
。
本题也可建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解。
10．（2012年江苏省5分）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，
其中．若，
则的值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】周期函数的性质。
【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①。
又∵，，
∴②。
联立①②，解得，。含泪劝告∴。
11．（2012年江苏省5分）设为锐角，若，则的值为 ▲ ．
【答案】。
【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数。
【解析】∵为锐角，即，∴。
∵，∴。∴。
∴。
∴
。
12．（2012年江苏省5分）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．
【答案】。
【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离
【解析】∵圆C的方程可化为：，∴圆C的圆心为，半径为1。
∵由题意，直线上至少存在一点，以该点为圆心，1为半径的圆与圆有
公共点；
∴存在上证综指，使得成立，即。
∵即为点到直线的距离，∴，解得。
∴的最大值是。
13．（2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式
的解集为，则实数c的值为 ▲ ．
【答案】9。
【考点】函数的值域，不等式的解集。
【解析】由值域为，当时有，即，
∴。
∴解得，。
∵不等式的解集为，∴，解得。
14．（2012年江苏省5分）已知正数满足：则的取值范围是 ▲ ．
【答案】。
【考点】可行域。
【解析】条件可化为：。
设，则题目转化为：
已知满足，求的取值范围。
作出（）所在平面区域（如图）。求出的切
线的斜率，设过切点的切线为，
则，要使它最小，须。
∴的最小值在处，为。此时，点在上之间。
当（）对应点时， ，
∴的最大值在处，为7。
∴的取值范围为，即的取值范围是。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或
演算步骤．
15．（2012年江苏省14分）在中，已知．
（1）求证：；
（2）若求A的值．
【答案】解：（1）∵，∴，即。
由正弦定理，得，∴。
又∵，∴。∴即。
（2）∵ ，∴。∴。
∴，即。∴。
由 （1） ，得，解得。
∵，∴。∴。
【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。
【解析】（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。
（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值。
16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点．
求证：（1）平面平面；
（2）直线平面．
【答案】证明：（1）∵是直三棱柱，∴平面。
又∵平面，∴。
又∵平面，∴平面。（lb ylfx）
又∵平面，∴平面平面。
（2）∵，为的中点，∴。
又∵平面，且平面，∴。
又∵平面，，∴平面。
由（1）知，平面，∴∥。
又∵平面平面，∴直线平面
【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
【解析】（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。它可由已知是直三棱柱和证得。
（2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。
17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，
炮弹可以击中它？请说明理由．
【答案】解：（1）在中，令，得。
由实际意义和题设条件知。
∴，当且仅当时取等号。
废墟上的鲜花 ∴炮的最大射程是10千米。
（2陈飞林雪梅）∵，∴炮弹可以击中目标等价于存在，使成立，
即关于的方程有正根。
由得。
此时，（不考虑另一根）。
∴当不超过6千米时，炮弹可以击中目标。
【考点】函数、方程和基本不等式的应用。
【解析】（1）求炮的最大射程即求与轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。
（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。
18．（2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。
已知是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求和的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
（3）设，其中，求函数的零点个数．
【答案】解：（1）由，得。
∵1和是函数的两个极值点，
∴ ，，解得。
（2）∵ 由（1）得， ，
∴，解得。
∵当时，；当时，，
∴是的极值点。
∵当或时，，∴ 不是的极值点。
∴的极值点是－2。
（3）令，则。
先讨论关于 的方程 根的情况：
当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。
当时，∵， ，
∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。
由（1）知。
① 当时， ，于是是单调增函数，从而。
此时在无实根。
② 当时．，于是是单调增函数。
又∵，，的图象不间断，
∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。
同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。
③ 当时，，于是是单调减两数。
又∵， ，的图象不间断，
∴在（一1，1 ）内有唯一实根。
冯淑萍因此，当时，有两个不同的根满足；当 时
有三个不同的根，满足。
现考虑函数的零点：
( i ）当时，有两个根，满足。
而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。
( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。
而有三个不同的根，故有9 个零点。
综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质，导数的应用。
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