第四维空间绝密★启用前
数学Ⅰ
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题目(第1题~第20题，共20题)。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
参考公式：
柱体的体积V Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．
一、填空题目：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B ，则A B ∩_____. 2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z 的实部是_____.
3.已知一组数据4,2,3,5,6a a 的平均数为4，则a 的值是_____.
4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.
5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2 ，则输入x 的值是_____.
6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2
x ，则该双曲线的离心率是____.
7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时， 23 f x x ，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4 =23
，则sin 2 的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.
10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6
个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.
11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n N ，则d +q 的值是_______．
12.已知22451(,)x y y x y R ，则22x y 的最小值是_______．
13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ，，∠，
D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2
PA mPB m PC （m 为常数），则CD 的长度是________．
14.在平面直角坐标系xOy 中，已知0)P ，A ，B 是圆C ：221(362x y 上的两个动点，满足PA PB ，则△PAB 面积的最大值是__________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．
（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；
防尘服标准（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．
16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,45a c B
．
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5
ADC ，求tan DAC 的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO 为铅垂线(O 在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO 的距离a (米)之间满足关系式21140
h a ；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO 的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b
.已知点B 到OO 的距离为40米.
（1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO 的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括
端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价
32
k (万元)(k >0).问O E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143
x y E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求△AF 1F 2的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP
的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x 与()(,)h x kx b k b R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ．
吉林工程技术师范学院学报（1）若 222 2()f x x x g x x x D ，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x ，，，，求k 的取值范围；
（3）若
422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t ，，， , D m n ，
求证：n m ．
20.已知数列 *
() n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有1
1111k k k
n n n S S a 成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列 n a 是“λ–1”数列，求λ的值；
（2）若数列 n a 是“2”数列，且a n ＞0，求数列 n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列 n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，
数学Ⅱ(附加题)
【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．
．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A 在矩阵11a b
M 对应的变换作用下得到点(3,4)B ．（1）求实数a ，b 的值；
（2）求矩阵M 的逆矩阵1M ．
B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]
22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A 在直线:cos 2l 上，点2π(,6
B 在圆:4sin
C 上（其中0 ，02 ）．
（1）求1 ，2 的值
（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]
23.设x R ，解不等式2|1|||4x x ．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD
BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．
返老还童的女孩
（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14
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限流熔断器
BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交
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