绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
样本数据，，，的标准差 锥体体积公式
其中为样本平均数 其中为底面面积、为高
柱体体积公式 球的表面积、体积公式
贡献度 ，
其中为底面面积，为高 其中为球的半径
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.最小正周期为，其中，则
2.一个骰子连续投2次，点数和为4的概率
3.，则=
4.，则A的元素的个数
5.的夹角为，则
6在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则落入中的概率
7. 某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），
随机选择了50位老人进行调查。下表是这50位老人日睡眠时间的
频率分布表。
序号 （i） | 分组 （睡眠时间） | 组中值（） | 频数 （人数） | 频率 （） |
1 | [4,5) | 4.5 | 6 | 0.12 |
2 | [5,6) | 5.5 | 10 | 0.20 |
3 | 饲料添加剂品种目录 [6,7) | 6.5 | 20 | 0.40 |
4 | [7,8) | 7.5 | 10 | 0.20 |
5 | [8,9) | 8.5 | 4 | 0.08 |
| | | | |
在上述统计数据的分析中，一部分计算算法流程图，则输出的S的值是 。
8.直线是曲线的一条切线，则实数b= ▲
9.在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点P（0，p）在线段AO上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，一同学已正确算的的方程：，请你求的方程：
10.将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为
11.
12. 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=
13.若，则的最大值
14.对于总有成立，则=
二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
x
15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于两点，已知的横坐标分别为（1）求的值（2）求的值。
16．在四面体中，，且分别是的中点，
求证：（1）直线面
（2）面面
17．某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设，将表示成的函数关系式
②设，将表示成的函数关系式
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短。
18．设平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为。求：
（1）求实数的取值范围
（2）求圆的方程
（3）问圆是否经过某定点（其坐标与无关）？请证明你的结论。
19．（1）设是各项均不为零的等差数列（），且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当时求的数值②求的所有可能值；
（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。
20.若，且
（1）求对所有实数成立的充要条件（用表示）
（2）设为两实数，且若
求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。
2008年普通高校招生统一考试江苏卷(数学)
2【解析】本小题考查古典概型。基本事件共个，点数和为4的有、、共3个，故。
3.【解析】本小题考查复数的除法运算， ，因此=1。
4. 因为，所以，因此，元素的个数为0。
5.因为 ，所以=49。
因此7。
6.【解析】本小题考查古典概型。如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此。
7. 答案6.42
8.，令得，故切点为，代入直线方程，得，所以。
9.画草图，由对称性可猜想。
事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。
答案。
10.前行共用了 个数，因此第行从左向右的第3个数是全体正整数中的第libnet个，即为。
11.【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由得，代入得，当且仅当时取“=”。答案3。
12.【解析】本小题考查椭圆的基本量和直线与圆相切的位置关系。如图，切线互相垂直，又，所以是等腰直角三角形，故，解得。 答案
13.【解析】本小题考查三角形面积公式及函数思想。
因为AB=2（定长），可以以AB所在的直线为轴，其中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，由可得，化简得，即C在以（3，0）为圆心，为半径的圆上运动。又。
答案
14.使恒成立，只要在上恒成立。
当时，，所以，不符合题意，舍去。
伊格尔顿当时，即单调递减，，舍去。
当时
匹配滤波1若时在骨骼地球和 上单调递增，
在上单调递减。
所以
2当时在上单调递减，
，不符合题意，舍去。综上可知a=4.答案4。
15.由条件得， 为锐角，
故。同理可得，
因此。（1）。
（2），
，从而。
16．：（I）E，F分别为AB，BD的中点
。
（II）又，
所以
17． （I）①由条件可知PQ垂直平分AB，，则
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