2002年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
(1)函数的最小正周期是( )。
A. B. C. D.
(2)圆的圆心到直线的距离是( )。
A. B. C. 1 D.
(3)不等式的解集是( )
A. B. C. D.
(4)在内,使成立的x取值范围为( )
A. B. C. D.
(5)设集合,则( )
A. B. C. D.
(6)一个圆锥和一个半球有公共底面,如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等,那么,这个圆锥轴截面顶角的余弦值是( )。
A. B. C. D.
(7)函数是奇函数的充要条件是( )
A.ab=0 B. a+b=0 C. a=b D.
(8)已知,则有( )。
A. B. C. D.
(9)函数
A. 在()内单调递增 B. 在()内单调递减
C. 在()内单调递增 D. 在()内单调递减
(10) 极坐标方程与的图形是( )。
(11)从正方体的6个面中选取3个面,其中有2个面不相邻的选法共有( )。
A.8种 B. 12种 C. 16种 D. 20种
(12)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》:“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7.3%,”如果“”期间(2001年—2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“”末,我国国内生产总值约为( )。
A. 115 000 亿元 B. 120 000亿元 C. 127 000亿元 D. 135 000亿元
二. 填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
(13)椭圆的一个焦点是(0,2),那么k= 。
(14)的展开式中项的系数是 。
(15)已知,则 。
(16)已知函数那= 。
三. 解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分12分)已知复数,求实数a,b使
(18)(本小题满分12分)设石家庄东方美术职业学院为等差数列,为等比数列,,分别求出及的前10项的和及。
(19)(本小题满分 12分)四棱锥的底面是边长为a的正方形,PB面ABCD
(I)若面PAD与面ABCD所成的二面角为,求这个四棱锥的体积;
(II)证明无论四棱锥的高怎样变化,面与面所成的二面角恒大于。
(20)(本小题满分12分)设A、B是双曲线上的两点,点N(1,2)是线段AB的中点。(I)求直线AB的方程。
(II)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点,那么A、B、C、 D四点是否共圆?为什么?
(21)(本小题满分12分,附加题满分4分)(I)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明。 (II)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(III)(本小题为附加题,如果解答正确,加4分,但全卷总分不超过150分。)如果给出的是一块任意三角形的纸片(如图3),要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标示在图3中,并作简要说明。
(22)(本小题满分14分)已知,函数;(I)当b>0时,若对任意都有,证明;(II)当b>1时,证明:对任意,的充要条件是;(III)当时,讨论:对任意,的充要条件。
2002年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学参考答案
说明:
一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
四. 只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。
一. 选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分。
(1)C (2)A (3)D (4)C (5)B (6)C (7)D (8)D (9)C (10)B (11)B (12)C
二. 填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分,满分16 分。
halin
(13)1 (14)1 008 (15) (16)
三. 解答题
(17)本小题主要考查复数的基础知识和基本运算技能。满分12分。
解:因为
因为都是实数,
所以由得两式相加,整理得
解得: 对应得
所以,所求实数为,或
(18)本小题主要考查等差数列,等比数列基础知识,以及运算能力和推理能力。满分12分。
解:因为为等差数列,为等比数列。
已知 得:
因为
由俘虏兵下载知的公差为
由知的公比为
当时,
当时,
(19)本小题考查线面关系和二面角的概念,以及空间想象能力和逻辑推理能力,满分12分。
(I)解:因为面ABCD。 所以BA是PA在面ABCD上的射影
又, 所以
PAB是面PAD与面ABCD所成的二面角的平面角
而PB是四棱锥的高,PB=AB
聚四氟乙烯乳液
(II)证:不论棱锥的高怎样变化,棱锥侧面与恒为全等三角形。
作,垂足为E,连结EC,则
故是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角
设AC与DB相交于点O,连结EO,则
在三角形AEC中,
所以,面与面PCD所成的二面角恒大于90度。
(20)本小题主要考查直线、圆、双曲线和坐标法等基本知识,以及逻辑推理能力、运算能力和分析解决问题的能力。满分12分。
解:(I)依题意,可设直线AB的方程为
代入,整理得 (1)
记,,则是方程(1)的两个不同的根
所以,且
由N(1,2)是AB的中点得:
解得k=1,所以直线AB的方程为
(II)将k=1代入方程(1)得解出
由得即A、B的坐标分别为(-1,0)和(3,4)
由CD垂直平分AB,得直线CD的方程为即
代入双曲线方程,整理得: (2)
记,D ,以及CD的中点为M()
则是方程(2)的两个根,所以
从而,
又
即A、B、C、D四点到点M的距离相等,所以A、B、C、D四点共圆。
(21)本小题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力,满分12分,附加题4分。
解:(I)如图1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥。
如图2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成为一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。
(II)依上面剪拼的方法,有
推理如下:
设给出正三角形纸片的边长为2,那么,正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形,其面积为,现在计算它们的高:
所以
(III)(附加题,满分4分)
如图3,分别连结三角形的内心与各顶点,得到三条线段,再以这三条线段的中点为顶点作三角形,以新作的三角形为直三棱柱的底面,过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线,沿六条垂线剪下三个四边形,可以拼接成直三棱柱的上底、余下部分按虚线折起,成为一个缺上底的直三棱柱,即可得到直三棱柱模型。
注:考生如有其他的剪拼方法,可比照本标准评分。
(22)本小题主要考查二次函数、不等式等基础知识,以及逻辑推理能力、运算能力和灵活、综合应用数学知识解决问题的能力。满分14分。
电力线上网(I)证:依设,对任意,都有
因为 因为
(II)证: 必要性:
对任意,据此可以推出即
对任意
因为b>1,可以推出即
充分性:因为,对任意,可以推出:
即
因为,对任意,可以推出 即
综上,当b>1时,对任意,的充要条件是
(III)解:因为时,对任意:,即;
即
,即
庞任平
所以,当时,对任意,的充要条件是