2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共4页，包含填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题 第20题）．本卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4． 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
5． 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．
数学Ⅰ参考公式：
圆柱的体积公式：，其中为圆柱的表面积，为高．
圆柱的侧面积公式：，其中是圆柱底面的周长，为母线长．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．
（1）【2014年江苏，1，5分】已知集合，，则_______． 【答案】
【解析】由题意得．
（2）【2014年江苏，2，5分】已知复数(为虚数单位)，则的实部为_______．
【答案】21
【解析】由题意，其实部为21．
（3）【2014年江苏，3，5分生产力和生产关系的辩证关系】右图是一个算法流程图，则输出的的值是_______．
【答案】5
【解析】本题实质上就是求不等式的最小整数解．整数解为，因此输出的．
（4）【2014年江苏，4，5分】从这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的
概率是_______．
【答案】
【解析】从这4个数中任取2个数共有种取法，其中乘积为6的有和两种取法，因此所求概率为．
（5）【2014年江苏，5，5分】已知函数与，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_______．
【答案】
【解析】由题意，即，，，因为，所以．
（6）【2014年江苏，6，5分】为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株
树木的底部周长小于100 cm．
【答案】24
【解析】由题意在抽测的60株树木中，底部周长小于的株数为．
（7）【2014年江苏，7，5分】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是________．
【答案】4双黄莲
【解析】设公比为，因为，则由得，，解得，所以．
（8）【2014年江苏，8，5分】设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是_______．
【答案】
【解析】设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为，，则，，又，所以，则．
（9）【2014年江苏，9，5分】在平面直角坐标系xOy中，直线被圆截得的弦长为________．
【答案】
【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为
，所求弦长为．
（10）【2014年江苏，10，5分】已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【解析】据题意，解得bs标准．
（11）【2014年江苏，11，5分】在平面直角坐标系xOy中，若曲线(为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是________．
【答案】
【解析】曲线过点，则①，又，所以②，由①②解得，所以．
（12）【2014年江苏，12，5分】如图，在平行四边形ABCD中，已知，，
，则的值是________．
【答案】22
【解析】由题意，，，
所以，
即，解得．
（13）【2014年江苏，13，5分】已知是定义在R上且周期为3的函数，当时，．
若函数在区间上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】作出函数的图象，可见，当时，，
，方程在上有10个零点，即函数和图象与直线
在上有10个交点，由于函数的周期为3，因此直线与函数
的应该是4个交点，则有．
（14）【2014年江苏，14，5分】若的内角满足，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】由已知及正弦定理可得， ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
（15）【2014年江苏，15，14分】已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．
解：（1）∵，∴，
．
（2）∵，
∴．
（16）【2014年江苏，16，14分】如图，在三棱锥中，分别为棱 的中点．已知．
（1）求证：直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
南京工业大学学报解：（1）∵为中点∴DE∥PA∵平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF．
（2）∵为中点，∴∵为中点，∴，
∴，∴，∴DE⊥EF，∵，∴，
∵，∴DE⊥平面ABC，∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
（17）【2014年江苏，17，14分】如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．
（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；
（2）若，求椭圆离心率e的值．
解：（1）∵，∴，∵，∴，∴，
∴椭圆方程为．
（2）设焦点，∵关于x轴对称，∴，
∵三点共线，∴，即①
∵，∴，即②
①②联立方程组，解得 ∴
C在椭圆上，∴，化简得，∴, 故离心率为．
（18）【2014年江苏，18，16分】如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，． （1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？．
解：解法一：
（1）如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy．
由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，直线BC的斜率．
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率．设点B的坐标为(a,b)，
夺标800
则kBC=， k AB=，解得a=80，b=120．
所以BC=．因此新桥BC的长是150 m．
（2）设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60)．
由条件知，直线BC的方程为，即，
由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以，即，解得．
故当d=10时,最大，即圆面积最大． 所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．
解法二：
（1）如图，延长OA, CB交于点F．因为tan∠BCO=．所以sin∠FCO=，cos∠FCO=．
因为OA=60,OC=170，所以OF=OC tan∠FCO=．CF=，
从而．因为OA⊥OC，所以cos∠AFB=sin∠FCO=，又因为AB⊥BC，所以BF=AF
cos∠AFB==，从而BC=CF－BF=150．因此新桥BC的长是150 m．
（2）设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连接MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD=r m，
OM=d m(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO =cos∠FCO，
故由（1）知，sin∠CFO =所以．
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
所以，即，解得，
故当d=10时，最大，即圆面积最大．所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大．
（19）【2014年江苏，19，16分】已知函数其中e是自然对数的底数．
（1）证明：是上的偶函数；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在，使得成立．试比较与的大小，并证明
你的结论．
解：（1），，∴是上的偶函数．
（2）由题意，，即，∵，∴，
即对恒成立．令，则对任意恒成立．
∵，当且仅当时等号成立，∴．
（3），当时∴在上单调增，令，，
∵，∴，即在上单调减，
如何增强班级凝聚力∵存在，使得，∴，即．
∵，设，则，．当时，，单调增；当时，，单调减，因此至多有两个零点，而，∴当时，，；
当时，，；当时，，．
（20）【2014年江苏，20，16分】设数列的前n项和为．若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，则称是“H数列”．
（1）若数列的前n项和，证明：是“H数列”；
（2）设是等差数列，其首项，公差．若是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得成立．
解：（1）当时，，当时，，
∴时，，当时，，∴是“H数列”．
（2），对，使，即，
取得，，∵，∴，又，∴，∴．
（3）设的公差为d，令，对，，，
对，，则，且为等差数列．
的前n项和，令，则．
当时；当时；当时，由于n与奇偶性不同，即非负偶数，．
因此对，都可到，使成立，即为“H数列”．
的前ｎ项和，令，则
∵对，是非负偶数，∴，即对，都可到，使得成立，
即为“H数列”，因此命题得证．
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试，21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22、23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3． 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚．
4． 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
数学Ⅱ
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