〔第5题〕
2021年普通高等学校统一考试试题〔江苏卷〕
一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1．函数4 2sin(3π
+
=x y 的最小正周期为．
2．设2)2(i z -=〔i 为虚数单位〕，那么复数z 的模为．
3．双曲线
19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为． 4．集合}1,0,1{-共有个子集．
5．右图是一个算法的流程图，那么输出的n 的值是．
6
方差为：25
)9092()9088()9091()9090()9089(2
22222
=-+-+-+-+-=
bbc S ． 7．如今某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n 〔7≤m ，9≤n 〕可以任意选取，那么n m ， 都取到奇数的概率为．
8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是
1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，那么=21:V V ．
9．抛物线2
x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．假 设点),(y x P 是区域D 内的任意一点，那么y x 2+的取值范围是．科学松鼠会 果壳网
A
B
C
1A D
E
F
1B
1C
10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=
，BC BE 3
2
=， 假设AC AB DE 21λλ+=〔21λλ，为实数〕，那么21λλ+的值为．
11．)(x f 是定义在R 上的奇函数。当0>x 时，x x x f 4)(2-=，那么不等式x x f >)( 的解集
用区间表示为．
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为
F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的间隔 为1d ，
F 到l 的间隔 为2d ，假设126d d =，那么椭圆C 的离心率为．
13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数x
y 1
=
〔0>x 〕图象上一动点， 假设点A P ，之间的最短间隔 为22，那么满足条件的实数a 的所有值为． 14．在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=沸腾的黄土地
a ，376=+a a ，那么满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤． 15．〔本小题总分值14分〕 )sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．
〔1〕假设2||=
-b a ，求证：b a ⊥；
〔2〕设)1,0(=c ，假设c b a =+，求βα，的值．
16．〔本小题总分值14分〕
如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证：
〔1〕平面//EFG 平面ABC ；
〔2〕SA BC ⊥．
A B
C
S G F
E
17．〔本小题总分值14分〕
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ． 设圆C 的半径为1，圆心在l 上．
〔1〕假设圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；
〔2〕假设圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围．
18．〔本小题总分值16分〕
如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种途径。一种是从A 沿直线步行
到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两 位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m ．在甲出发min 2后，乙从 A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C ．假设缆车匀速直线运动的 速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，5
3
cos =C ． 〔1〕求索道AB 的长；
〔2〕问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的间隔 最短？ 〔3〕为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？
19．〔本小题总分值16分〕
设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记c
n nS b n
n +=
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2， *N n ∈，其中c 为实数．
〔1〕假设0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=〔*
,N n k ∈〕；
〔2〕假设}{n b 是等差数列，证明：0=c ．
20．〔本小题总分值16分〕
设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x
-=)(，其中a 为实数．
〔1〕假设)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； 〔2〕假设)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论．
C B A
D
M
N
2021年答案
一、 填空题 1、【答案】π
【解析】T ＝|2πω|＝|2π
2|＝π． 2、【答案】5
【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5．
3、【答案】x y 43
±=
【解析】令：091622=-y x ，得x x y 4
31692±=±=．
4、【答案】8
【解析】23＝8． 5、【答案】3
【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4．
6、【答案】2
592
88919089=++++=x
7、【答案】
63
20
【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，那么n m ，都取到奇数的概率为63
20
9754=⨯⨯．
8、【答案】1：24GOOGLEPATENT
【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8． 又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24．
9、【答案】[—2，12]
【解析】抛物线2
x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12x ＋z 2．
y x
l
B F
二氧化碳回收
O
c
b a 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12，0)时，z max ＝1
2．
10、【答案】1
2
【解析】)(32
213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=
+= AC AB AC AB 213
2
61λλ+=+-=
所以，611-=λ，3
2
2=λ，=+21λλ12．
11、【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)
【解析】做出x x x f 4)(2
-= (0>x )的图像，如下列图所示。由于)(x f 是定义在R 上的奇函数， 利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像。不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。
12、【答案】
3
3
y
x O y ＝2x —1
y ＝—12 x
x
y
y ＝x
y ＝x 2—4P (5,5) Q (﹣5, ﹣5)
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