一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。 2．证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反. （2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.
（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓
住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4．几个著名的几何不等式
（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD 中，一定有：，等号成立时四边形
BD AC BC AD CD AB ⋅≥⋅+⋅ABCD 是圆内接四边形.
证明1：取点，使则∽ E ACD ABE CAD BAE ∠=∠∠=∠，ABE ∆ACD ∆∴
云南鹤庆地震， ∴ （1）
CD BE AC AB =AD
AE
AC AB =BE AC CD AB ⋅=⋅又 ∴∽
DAE BAC ∠=∠ABC ∆AED ∆∴
∴ AD
AC
DE BC =DE AC AD BC ⋅=⋅∴
BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ⋅≥+⋅=⋅+⋅=⋅+⋅)(上式等号成立当且仅当在对角线上.此时，从而四边形内接于圆. E BD ACD ABD ∠=∠证明2：复数法：设、、、对应的复数分别是、、、 A B C D 1z 2z 3z 4z 用到下面的恒等式
142324313412()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=则
12341423|()()||()()|AB CD AD BC z z z z z z z z ⋅+⋅=--+--12341423|()()()()|z z z z z z z z ≥--+--
2431|()()|z z z z AC BD =---=⋅（2）（嵌入不等式） 设，
,,,(21),x y z R A B C k k Z π∈++=+∈
C
C 求证： C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 22
2
2
++≥++等号成立的充要条件是：及. B z C y x cos cos +=B z C y sin sin =证明：
C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 22
2
2
---++
)cos(2)cos cos (2222C B yz z y x C y B z x +++++-=
222)sin sin ()cos cos ()cos cos (2C y B z C y B z x C y B z x -++++-=当且仅当且时取等
0)sin sin ()cos cos (22≥-+--=C y B z C y B z x B z C y x cos cos +=B z C y sin sin =号
（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos —Mordell ）不等式：在内部任取点，，分别表示由点到ABC ∆P ,A d B d C d P 顶点之间的距离，分别表示由点到边的距离， C B A ,,c b a d d d ,,P AB CA BC ,，则
)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明1：过作直线分别交于，使 P XY AC AB ,Y X ,ABC AYX ∠=∠则∽ ∴
AYX ∆ABC ∆BC
AB
XY AY BC AC XY AX ==，又∵ A b c AXY d XY d AY d AX S ⋅≤⋅+⋅=∆2
1
2121∴即 b c A d XY AY d XY AX d ⋅+⋅≥
b c A d BC
AB d BC AC d ⋅+⋅≥同理： ∴ a c B d AC
AB
d AC BC d ⋅+⋅≥
a b C d AB
AC
d AB BC d ⋅+⋅≥
)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明2：四点共圆 则
F A E P ,,,A d A
EF
=sin 在中，由余弦定理得
EFP ∆)cos(22
2
2
C B d d d d EF b c b c +⋅⋅-+=
22)sin sin ()cos cos (C d B d C d B d b c b c ++-=2)sin sin (C d B d b c +≥∴ ∴ C d B d EF b c sin sin +≥b c A d A
C
d A B d sin sin sin sin +≥
同理 ∴ a c B d B
C
d B A d sin sin sin sin +≥
a c C d C
B
d C A d sin sin sin sin +≥
)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++证明3：设则
γβα=∠=为什么植树是义务
∠=∠CPA BPC APB ,,αcos 2222⋅⋅-+=B A B A d d d d AB
βcos 22赵尔丰
2
2⋅⋅-+=C B C B d d d d BC γcos 22
2
2⋅⋅-+=A C A C d d d d CA 又
βsin 2
1
21⋅⋅=⋅C B a d d d BC ∴
)
cos 1(2)(sin cos 2sin 2
2
2
ββ
β
β-⋅⋅+-⋅⋅=
⋅⋅-+⋅⋅=
C B C B C B C B C B C B a d d d d d d d d d d d d d
即 2
cos 212
中文科技期刊数据库sin 22sin )
cos 1(2sin 2
β
β
βββC B C B C B C B C B d d d d d d d d d d ⋅=
⋅⋅⋅⋅=
-⋅⋅⋅⋅≤
2cos 21βC B a d d d ⋅≤同理 2cos 21γA C b d d d ⋅≤
2
cos 21α
B A c d d d ⋅≤（嵌入不等式） )2cos 2cos 2cos (21αγβB A A
C C B c b a d d d d d d d d d ⋅+⋅+⋅≤
++)(2
1
C B A d d d ++≤证明四： 设，且设它们的2,2,2BPC CPA APB αβγ∠=∠=∠=αβγπ++=内角平分线长分别是，且 a b c w w w 、、a a b b c c w d w d w d ≥≥≥、、只要证更强的结论
2()
A B C a b c d d d w w w ++≥++ a
w =
=又，即
222cos 22B C B C
d d a d d α+-=222
2cos
2B C B C
d d a d d α+-=∴
同理
，
2cos B C B C
a B C B C
d d d d w d d d d αα=
=≤++b w β≤
c w
γ=∵
αβγπ++=∴由嵌入不等式得
2())a b c A B C w w w d d d αβγ++≤+≤++（4）外森比克不等式：设的边长和面积分别为和，则，当且仅当ABC ∆c b a ,,S S c b a 342
2
2
≥++ABC ∆为正三角形时等号成立.证明方法很多，证明略
5．费尔马(Fermat )问题：在中，使为最小的平面上的点称为费尔马点.当ABC ∆PC PB PA ++P ︒≥∠120BAC 时，点为费尔马点；当中任一内角都小于时，则与三边张角为的点为费尔马点. A ABC ∆︒120︒120P 例1 已知，设是它的内心，的内角平分线分别交其对边于，求证：
ABC ∆I C B A ∠∠∠,,/
/
/
,,C B A . 27
8
41///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI 证明：令由角平分线定理，易得∴ c AB b CA a BC ===,,c b a b C A c B A IA IA +===///c
b c
b a IA AA +++=/ ∴
易得 ∴ c b a c b AA IA +++=/121<+++<++++=c b a c b c b c b c b )1,21
(/
∈+++=c b a c b AA
IA 同理 则 )1,21
(/
∈+++=c b a c a BB
IB )1,21
(/
∈+++=c b a b a CC
IC 2/////=++CC IC BB IB AA IA 处理（1）令
，则 3/2/1/2
1,21,21t CC IC t BB IB t AA IA +=+=+=21
),1,21(,,3
21321=++∈t t t t t t
B
∴ 2783)21()21()21()21)(21)(21(3
32
1321=⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+++++≤+++t t t t t t ∴ 4
1
)(21)(4181)21)(21)(21(
321133221321321>+++++++=+++t t t t t t t t t t t t t t t ∴
27
841///≤⋅⋅⋅⋅<CC BB AA CI BI AI 处理（2）令，则，且 z CC
IC y BB IB x AA IA ===/
//,,2=++z y x 1
,,(,1)2x y z ∈∴
27
8
3(
3=++≤z y x xyz 21113139
(2)(2)()[(]22222416
xyz x x z z z z z z z =-->--=-=--+又
（在区间端点取到最小值）∴ 112z <<2139[(2416z --+221391391
[()][(1)241624164
xyz z >--+>--+=处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令
m k c k n b n m a +=+=+=,, )(22)(22)(22/
//k n m k
n m k n m k n m k n m k n m CC
BB AA CI BI AI ++++⋅++++⋅++++=⋅⋅⋅⋅
41
)(8))(()()(3
33>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m 说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为），反之，若三个正数可以表示为上述形式，则一定)0,,(,,,>+=+=+=z y x x z c z y b y x a c b a ,,c b a ,，是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用表示，有关三角形的一些几何z y x ,，不等式都可以化为关于的代数不等式
z y x ,，例2 设是内的一个点，分别是与的连线与对边的交点（如图），求证：
P ABC ∆S R Q ,,C B A ,,P .（是塞瓦三角形）（分析：利用补集思想）证明 ABC QRS S S ∆∆≤
41QRS ∆ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++4
3
证明1：令，则由塞瓦定理 γβα===RA CR
QC BQ SB AS ,,1=αβγ则
)
1)(1(++=⋅⋅=∆∆γαα
AC AB AR AS S S ABC ASR 同理
、 )1)(1(++=⋅⋅=
∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC
BSQ )
1)(1(++=
⋅⋅=∆∆βγγAB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明即
ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥
++4
3
43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα只要证只要证
0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ0)]()1
1
1
[(
6≤+++++
-γβαγ
β
α
显然当时取等号，此时是的重心 6)(11
1
(
≥+++++
γβαγβα
1
2
αβγ===P ABC ∆
B
证明2：
设则
、
z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,z x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,,)
)((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR ++=⋅⋅=∆∆同理
、
)
)((x z x y yz
AB BC BS BQ S S ABC
BSQ ++=
⋅⋅=∆∆)
)((z y z x xy
AB BC CR CQ S S ABC
CQR ++=⋅⋅=
∆∆只要证明即
ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥
++4
3
43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz 通分整理 3
()()()()()()4
xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++即 2
2
2
2
3()
()()(
)()()4x y z y z x z x y x y y z z x +++++≥
+++3
64
xyz ≥⋅=只要证
郭林新气功
xyz y x z z y x z x y 6)()()(2
2
2
≥+++++事实上
)()()(2
2
2
y x z z y x z x y +++++)()(2
2
2
2
2
2
zx yz xy x z z y y x +++++=
牛黄狗宝xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥当且仅当时取等号，此时是的重心 z y x ==P ABC ∆证明3：令
，且则 ,,AS BQ CR AB BC CA αβγ===)1,0(,,∈γβα1,1,1BS CQ AR
AB BC CA
αβγ=-=-=-由塞瓦定理得整理得
)1)(1)(1(γβααβγ---=()12αβγαββγγααβγ++-++=-、同理、 )1(γα-=⋅⋅=∆∆AC AB AR AS S S ABC ASR )1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BS BQ S S ABC BSQ )1(βγ-=⋅⋅=∆∆AB
BC CR CQ S S ABC CQR 只要证
4
3)1()1()1(≥-+-+-βγαβγα事实上
(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=-))1(2)1(2)1(2(4
1
1)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-⋅-⋅-⋅-=----= 4
3411=-
≥当且仅当时取等号，此时是中点，是的重心 2
1
=
==γβαS R Q ,,P ABC ∆例3 已知的面积为，三边分别为，求证：，且当时等号成立. ABC ∆S c b a ,,23
(43c b a S ++≤c b a ==证明1：由海伦公式，设 )(2
1
c b a p ++=
2233
(4393)3())()((c b a p p p c p b p a p p S ++==⋅≤
---=当且仅当即时取等号
c p b p a p -=-=-c b a ==
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