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费马尔问题思考：
如何一点P使它到△ABC三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
当B、P、Q、E四点共线时取得最小值
费马点的定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的：
1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；
2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的性质：费马点有如下主要性质：
1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
费马点最小值快速求解：
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值
典题探究 启迪思维 探究重点
夏天也是好天气例题1. 已知：△ABC是锐角三角形，G是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°.
求证：GA+GB+GC的值最小.
证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则 △CGB≌△CPD；
∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.
∵ ∠GCP=60°,
∴ ∠BCD=60°,
∴ △GCP和△BCD都是等边三角形。
∵ ∠AGC=120°, ∠CGP=60°.
∴ A、G、P三点一线。
∵ ∠CPD=120°, ∠CPG=60°.
∴ G、P、D三点一线。
∴ AG、GP、PD三条线段同在一条直线上。
∵ GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD.
∴ G点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点
变式练习>>>
1．如图，是边长为1的等边内的任意一点，求的取值范围.
解：将绕点顺时针旋转60°得到，
易知为等边三角形.
从而
（两点之间线段最短），从而.
过作的平行线分别交于点，
干热岩
易知.
因为在和中，
①，
②。
又，所以③.
①+②+③可得
，
即.综上，的取值范围为.
例题2. 已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为，求正方形的边长．
解 如图2，连接AC，把△AEC绕点C顺时针旋转60°，得到△GFC，连接EF、BG、AG，
可知△EFC、△AGC站用变压器都是等边三角形，则EF=CE．又FG=AE，
∴AE+BE+CE = BE+EF+FG．
∵ 点B、点G为定点（G为点A绕C点顺时针旋转60°所得）．
∴ 线段BG即为点E到A、B、C三点的距离之和的最小值，此时E、F两点都在BG上．
设正方形的边长为，那么
BO=CO=，GC=, GO=．
∴ BG=BO+GO =+．
∵ 点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为．
∴ +=，解得=2．
注 本题旋转△AEB、△BEC也都可以，但都必须绕着定点旋转，读者不妨一试．
变式练习>>>
2．若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 求PB的值.
例题3. 如图，矩形ABCD是一个长为1000米，宽为600米的货场，A、D是入口，现拟在货场内建一个收费站P，在铁路线BC段上建一个发货站台H，设铺设公路AP、DP以及PH之长度和为l，求l的最小值．
【解答】，线段A1E为最短．
变式练习>>>
3．如图，某货运场为一个矩形场地ABCD，其中AB＝500米，AD＝800米，顶点A，D为两个出口，现在想在货运广场内建一个货物堆放平台P，在BC边上（含B，C两点）开一个货物入口M，并修建三条专用车道PA，PD，PM．若修建每米专用车道的费用为10000元，当M，P建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少？（结果保留整数）
连接AM，DM，将△ADP绕点A逆时针旋转60°，得△AP′D′，
由（2）知，当M，P，P′，D′在同一条直线上时，AP+PM+DP最小，最小值为D′N，
∵M在BC上，
∴当D′M⊥BC时，D′M取最小值，
设D′M交AD于E，
∵△ADD′是等边三角形，
∴EM＝AB＝500，
∴BM＝400，PM＝EM﹣PE＝500﹣，
∴D′E＝AD＝400，
∴D′M＝400+500，
∴最少费用为10000×（400+500）＝1000000（4+5）元；
∴M建在BC中点（BM＝400米）处，点P在过M且垂直于BC的直线上，且在M上方（500﹣）米处，最少费用为1000000（4+5）元．
例题4. 如图，在平面直角坐标系xOy一切的一切中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣6，0），B（6，0），C（0，4），延长AC到点D电视剧金凤花开，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E．
（1）求D点的坐标；
（2）作C点关于直线DE的对称点F，分别连接DF、EF，若过B点的直线y＝kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）在第二问的条件下，设G为y轴上一点，点P从直线y＝kx+b与y轴的交点出发，先沿y柯尔特一家轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短．（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）
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