Kuramoto-Tsuzuki方程的Grank-Nicolson差分格式 双榆树公园周丽;岳超慧
【摘 要】汽弹对二维Kuramoto-Tsuzuki方程混合初边值问题建立了线性化Crank-Nicolson型差分格式,利用离散函数的内插不等式和能量估计法证明了该格式解的存在唯一性,给出了差分格式的收敛阶为O(h2+τ)的证明. 【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2019(033)001
【总页数】8页(P20-27)
【关键词】Kuramoto-Tsuzuki方程;差分格式;收敛性
【作 者】周丽;岳超慧
【作者单位】安徽农业大学应用数学系,安徽 合肥230031;安徽农业大学应用数学系,安徽 合肥230031
【正文语种】中 文
【中图分类】O241.82
0 引言
Kuramoto-Tsuzuki 方程描述了在歧点附近两个分支系统的行为状况[1].一维Kuramoto-Tsuzuki 方程混合初边值问题为
其中,Ω=(0,1),c1,c2 为实数, u(x,t),u0(x)为复函数.
现有的工作都是对一维Kuramoto-Tsuzuki 方程进行研究的.在文献[2,3]中作者对一维 Kuramoto-Tsuzuki方程混合初边值问题构造了差分格式并给出了在L∞ 范数下收敛性的证明；文献[4]中构造了一个广义Box 格式,该格式当时在L2 范数下收敛阶为O(τ2+h2)；Tsertsvadze 在文献[5]中构造了Crank-Nicolson 差分格式,给出了在 L2范数下以收敛. 随后, 孙教授在文献[6]中对一维Kuramoto-Tsuzuki方程混合初边值问题的Tsertsvadze格式给出了关于空间步长h和时间步长τ无条件稳定的证明并且在L∞ 范数下以O(τ2+h2)收敛.
以上都是考虑一维Kuramoto-Tsuzuki 方程混合初边值问题，二维情况下对Kuramoto-Tsuzuki方程数值解的研究很少出现, 困难在于二维下非线性项|u|2u很难处理. 类似于Kuramoto-Tsuzuki方程的二维问题在文献[7]中研究了λ-ω 型反映扩散系统, 作者构造了全离散的有限元逼近格式并证明了数值解的收敛性.
1 格式的建立
本文考虑下面二维Kuramato-Tsuzuki 方程混合初边值问题:
ut=(1+ic1)Δu+u-(1+ic2)|u|2u (x,t)∈Ω×(0,T]
(1)
=0 (x,t)∈∂Ω×(0,T]
(2)
(3)
其中,x=(x1,x2)，Ω=(0,1)×(0,1)，Δ代表 Laplace 算子为实数，u(x,t),u0(x)为复函数.
取空间步长时间步长其中M,N为正整数.记x1i=ih,x2j=jh, tn=nτ,i,j=0,1,…,M , n=0,1, …N,Ωh={(x1i,x2j)|0≤i,j≤M},Ωτ={tn|0≤n≤N}.设为Ωh×Ωτ 上的网格函数，引进如下记号
设v={vij|0≤i,j≤M},ω={ωij|0≤i,j≤M}为Ωh上的网格函数, 定义内积和范数
对方程(1)～方程(3)建立如下线性化Crank-Nicolson 型差分格式
(4)
(5)
其中,的近似.
2 解的存在性
首先引入下面的Brouwer不动点定理[8,9].
引理1 设(H,(.,.)H)是有限维内积空间,‖·‖H是其上范数,映射g:HH是连续的,若存在α>0,使得对任意z∈H,‖z‖H=α，有Re(g(z),z)H≥0 成立, 则存在z* ∈H 使得‖z*‖≤α时g(z*)=0.
将(4)改写为陈佳丽人体
嘧霉胺数据挖掘论文做映射G：CM+1CM+1
当v∈CM+1时, 分别将(Δhv,v)h,|v|1,h按定义展开得到
因此
对上式两边同时取实部得
魏晋南北朝志怪小说因此当τ≤2 时,取 则Re(G(v),v)h≥0.由引理1, 存在z* 使得G(z*)=0.取 即可得
3 截断误差
定理1 假设原方程的解 为差分格式(4)式和(5)式的局部截断误差,则存在常数C, 使得
证明 定义网格函数在考虑微分方程
(1)当1≤i,j≤M-1,0≤n≤N时
而
因此
(2)当i,j=0,M时，由于
因此可得，当i=0,M时有
(1)式两边对x1求导
可得当i=0,M时
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