07306143 逸仙班 苏宇泉
3.1.2 Kronig-Penney 模型
我们在上一节定性地讨论了由于原子聚集形成晶格所导致的电子能级分裂，下面我们利用量子力学和薛定谔方程使允带和禁带的概念更严密。推导的过程可能会不容易让读者理解，但它的结果组成了半导体允带和禁带理论的基础。 一个不受相互作用影响的单电子原子的势能如图3.5a。图中也标出了电子的分立能级。多个原子紧密地排列在一维空间时的同类型势函数如。邻近原子的势函数发生交叠，。它就是我们建立一维单晶材料模型所需的势函数。 图3.5|（a）独立单原子的势函数（b）邻近原子的势函数发生交叠（c）最终的一维单晶势函数
通过利用一个更简单的势函数可使求解一维单晶晶格的Schrodinger波动方程更容易。一维单晶晶格势函数的Kronig-Penney模型如图3.6所示，我们需要求解每个区域的Schrodinger波动方程。像之前的量子问题一样，当E<Vo时，其解将会更有趣，此时粒子被束缚在晶格中。电子在势阱中，但有可能在阱间遂穿。虽然Kronig-Penney模型用理想化的周期势代替一维晶格，但其结果将说明电子在周期晶格中量子行为的许多重要特点。
慢性再生障碍性贫血数
图3.6| Kronig-Penney模型的一维周期势函数
为了求解Schrodinger波动方程，我们运用Bloch的一个数学定理。该定理指出，所有具有周期性势函数的单电子波函数的解都具有以下形式
（3.1）
式中k被称为运动常量。随着理论的深入，我们会了解到它的更多细节。函数u(x)是一个周期为（a+b）的周期函数。
我们在第二节提到，波动方程的完整解包括一个时间独立函数和一个时间相关函数，即
（3.2）
或写成
（3.3）
这种行波形式的解代表电子在单晶格中的运动。行波的振幅是一个周期函数，参数k代表波数。
现在我们决定参数k、总能量、势能Vo的关系。如果考虑图6中V=0的区域1（0<x<a），对（3.1）式求二阶导数，并将结果代入方程（）给出的时间独立Schrodinger波动方程函数，则得到方程
(3.4)
函数u1(x)是区域1波函数的振幅，参数α定义为
（3.5）
现在考虑一个特殊的区域Ⅱ，-b<x<0，V(x)=Vo，由Schrodinger波动方程得
（3.6）
其中u2(x)是区域Ⅱ波函数的振幅。我们定义
（3.7）
那么，（3.2）式可以写成
（3.8）
注意，（3.7）式中，如果E>Vo，则参数β为实数，如果E<Vo，则β为虚数。
区域1中，方程（3.4）的解有以下形式
， （0<x<a） （3.9）
区域Ⅱ中，方程（3.8）的解有以下形式
， (-b<x<0) (3.10)
由于势函数V(x)处处连续，则波函数ψ(x)和它的一阶导数也一定连续。这连续条件要求振幅函数u(x)和它的一阶导数连续
如果我们考虑边界x=0，利用连续性条件有
u1（0）=u2（0） （3.11）
将方程（3.9）和（3.10）代入得
A+B-C-D=0 (3.12)
现在利用连续性条件
（3.13）
得
（3.14）
我们讨论了区域1(0<x<a)和区域Ⅱ(-b<x<0)又由周期性和连续性条件得，u1在x趋于a时的值等于u2趋于b时的值，即
u1（a）=u2(-b) （3.15）
代入u1 (x)和u经济新常态的要求2(x)的解得
（3.16）
最后一个边界条件为
（3.17）
金属表面耐磨涂层
得
（3.18）
我们现在由4个边界条件得到4个齐次方程，分别为方程（3.12）（3.14）（3.16）（3.18），和4个未知数。对一组联立线性齐次方程组，当且仅当系数行列式为0时有非零解。在本问题中，系数是参数A，B，C，D的系数。
行列式的计算是非常复杂的，在此我们不细讨论，它的结果为
（3.19）
方程（3.19）将参数k，总能量E（通过参数α）和势能Vo（通过参数β）
正如前面提到，当E<Vo，即电子被束缚在晶格中时的解会更有趣。此时参数β是一个虚数，定义
β=jγ （3.20）
其中为实数。方程（3.19）可以写成
（3.21）
方程（3.21）本身不能求出解释解，必须用数值法各作图法得到k,E和Vo的关系。
对于一个单独的，束缚态的电子，波动方程解的结果为分立的能量，而方程（3.21）的解的结果为一系列的允带。
为使方程更适合于用作图法求解并说明结果的本质，令势垒宽度b趋于0且势垒高度Vo趋于正无穷，但它们的乘积bVo依然有限，则方程（3.21）变为
（3.22）
定义参数P’
(3.23)
最后，得
（3.24）
方程（3.24）再一次给出了参数k,总能量E和势垒bVo的关系。值得注意的是方程（3.24）并不是波动方程的解，但它给出了一个波动方程有一个解的条件。如果我们假设晶格无限大，那么k就是一个实的连续值。
3.1.3 k空间能带图
贫铀弹是什么
为了了解解的性质，首先考虑Vo=0的例子。此时P’=0对应的没势垒的自由粒子。由方程（3.24）有
（3.25）
或
α=k 十一刀 （3.26）
由于势能为0，总能量E等于动能，所以方程（3.26）可以写成
（3.27）
>《产业结构调整指导目录(2011年本)》
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