李萍;张磊;王垚廷
【摘 要】在许多物理现象中经常会遇到偏微分方程的求解问题,虽然容易得到它们的基本方程和边界条件,但由于边界条件的复杂性,基本都很难得到方程的精确解。因此,使用Matlab中PDE工具箱和编程相结合的方法求解偏微分方程。算例表明,使用PDE工具箱和编程相结合的方法求解偏微分方程,步骤简单,求解灵活,适应性强,结果可视化程度高,适合初学者求解较为复杂的偏微分方程。用此方法对偏微分方程进行数值计算和图形处理,数值解与精确解误差较小,使用简单、方便、高效。 【期刊名称】《齐鲁工业大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2017(031)004
【总页数】5页(P39-43)
【关键词】偏微分方程;PDE工具箱;数值计算;可视化
【作 者】李萍;张磊;王垚廷
【作者单位】[1]西安工业大学理学院,西安710021;[2]齐鲁工业大学电气工程与自动化学院,济南250353
【正文语种】中 文
【中图分类】咏春传奇电视剧O241.82
任何一种物理现象，若其物理量随空间变化或随空间和时间变化，则对这种现象的描述中一定有偏微分方程。比如电磁波、流体力学、量子力学和扩散，除了最简单的情形之外，这些方程都是很难求得解析解的，因此只要求得数值解才能得到一个定量的结果。在经典的数值计算处理方式中，用自变量离散格点上的值来描述因变量，并通过适当的离散化，偏微分方程就变成一大组差分方程。虽然这些差分方程在理论上可以使用直接矩阵的方法来求解，但是涉及的矩阵非常大，使得这种方法无法实施。Matlab提供了专门用于解二维偏微分方程的工具箱，使用这个工具箱，一方面可以解偏微分方程，另一方面可以学习如何求解数学问题与如何使得求解方法简单化。首先对PDE工具箱的原理[1－6]、方程的分
类以及求解的大致步骤进行简要的说明，其次选用四组实例得到其数值解，并与解析解进行比较分析。
大多数偏微分方程都很难得到解析解，所以使用各种方法求得的数值解也没有一个定量的比较。为了更好的比较数值解与解析解，选择了易求出解析解的方程来进行比较分析，使得结果更为清晰。
1.1 问题描述
1)散热片的横截面为一矩形[0，a]×[0，b]，它的一个边处于较高温度，其它三边保持零度，求解横截面上的温度分布。问题可描述为如下边值问题:
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4)对于两个首尾焊接在一起的细杆，在焊接杆的左侧和右侧分别有热源 q1＝ eu1＋u2，q2＝ eu1－u2入射进杆中，且这两个细杆的初始温度分别为sinx和cosx。对于左侧细杆，其最左侧的温度变化为0，杆右侧的温度为1 K。对于右侧细杆，其最右侧的温度为0，杆左侧两个焊接处的温度变化为0。将此焊接杆的传热问题描述为如下问题:
禅宗思想1.2 方法介绍
1.2.1 使用PDE工具箱求解
PDE工具箱主要利用有限元方法，并结合Matlab强大的可视化功能，提供了求解偏微分方程的环境。但PDE工具箱只能求解形式为二维的偏微分方程，故可以将一维偏微分方程通过增加维数(如增加杆的宽度等)来变为二维偏微分方程，三维偏微分方程可以通过减少维数(如减少时间维数)来变为二维偏微分方程。
物理上大部分的偏微分方程都是二阶的，可根据它们的数学特征分为三大类型[7－9]，即椭圆型方程，抛物型方程和双曲型方程。
式中u为域W上的求解变量；d，c，a，f为常数或变量；t为时间变量。
三类方程直接的区别在于u对t的导数的阶次。若对t没有求导，可以理解为其值为常数，故称为椭圆型。椭圆型方程最典型的例子是静电场中的Poisson方程和不含时间的定态Schrodinger方程，如自常定和非常定的传输问题以及绝缘和导体材料的静电场问题；若取u对时间t的一阶导数，则与u对x的二阶导数直接构成了抛物线关系，故称为抛物型偏微分方程。抛物型方程最典型的例子是扩散方程和含时间的定态Schrodinger方程，如多孔介质
的流动与扩散问题；若取u对时间t的二阶导数，称其为双曲型偏微分方程。而双曲型方程最典型的例子是波动方程，如暂态和谐波在声音和电磁场中的传播[10－11]。
PDE工具箱中定义了两类边界条件:
式中，为垂直于边界的单位矢量；h，r，q和g为常量或与u有关的变量。在pdetool窗口中，确定方程数值解的大致定解区域及边界条件后，狄利克雷(Dirichlet)边界显示为红，纽曼(Neumann)边界显示为蓝，混合边界显示为绿。
使用PDE工具箱求解偏微分方程涉及的求解步骤为:
1)在Matlab命令中“New script”下打开一个新的编辑页面，编辑f，输入程序，并保存为“framp.m”。
2)在 Matlab命令中运行 pdetool，出现 PDE Toolbox界面，选择PDE→PDE Specification确定方程类型。
3)选择Draw→Draw Mode，可以使用画图工具直接画出图形，并修改公式。
4)选择“Boundry”→“Boundry Mode”，进入边界模式，定义其边界条件。
5)点击剖分按钮对区域进行划分，并选择Mesh→Jiggle Mesh来提高网格质量。
6)选择Solve→Parameters按钮，设置初始条件。
7)点击“＝”按钮，得到方程解的平面分布图。不同的颜代表不同的数值，整个大致定解区域变成了点的集合，可以详细看到数值的分布情况。可通过Solve→Export Solution把数值解输出到Matlab工作间。差分
8)点击Plot→Parameters，设置图像输出。根据需要的图像输出要求进行设置，然后点击下方的Plot按钮，得到偏微分方程的三维图形。
1.2.2 使用pdepe函数求解
Matlab软件提供的pdepe函数，此函数不但可以用来求解偏微分方程，还可以用来求解偏微分方程组，函数的调用格式为[12]:
Sol＝pdepe(m，＠ pdefun，＠ pdeic，＠ pdebc，x，t)
输入参数中
＠pdebc是偏微分方程的初始条件描述函数，函数必须具有如下形式
根据标准形式编写程序，进行求解。
在用Matlab求解析解时，只选择了与数值解相对应的一小区间来代表整体的趋势，故数值解和解析解图形只描述方程局部的变化趋势，并不完全表示函数本身所表达的物理意义。
2.1 方程(1)求解
对于方程(1)，属于典型的椭圆型偏微分方程。给定参数 a＝1，b＝0.5，U＝1，使用 PDE 工具箱解得其数值解，且易得到其解析解并用Matlab模拟其分布(图1)。
由于求和过程中n无法取到无穷，故取n为确定数值的情形。但是通过多次取值模拟，n的取值对解析解的整体趋势没有明显影响，故取n＝10 000的情形。
在求解方程数值解的过程中，只需要简单的几个步骤就可以得到方程的数值图形，求解过程简单、高效，适合初学者与没有编程基础的人。
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2.2 方程(2)求解
对于方程(2)，属于典型的抛物型偏微分方程，取参数 a2＝1，l＝1，0＜t＜0.3，使用 PDE 工具箱解得其数值解，且易得到其解析解并用Matlab模拟其分布(图2)。
可以看出，使用PDE工具箱得到的数值解与解析解在0≤t≤1，0≤x≤0.1时，解的趋势基本相同，只有在0≤t≤1，0.1≤x≤0.2处，解的趋势稍有不同。但这并不影响使用PDE工具箱求解数值解的精确性和高效性。
2.3 方程(3)求解
对于方程(3)，属于典型的双曲型偏微分方程，给定参数 a2＝4，l＝1，0＜t＜0.2，使用 PDE 工具箱解得其数值解，且易得到其解析解并用Matlab模拟其分布(图3)。
2.4 方程(4)求解
对于偏微分方程组(4)，使用pdepe函数求解。首先将方程及初始条件、边界条件改为标准模式，则有
根据式(15)、(16)、(17)编写程序，并运行。 得到原方程组的数值解，即函数u1，u2的图像，如图4所示。
由于在编程过程中t无法取到无穷，故取t为确定数值的情形。但是通过多次取值模拟，只能取很小的区间内的t来用局部的变化代替整体的趋势，取值对方程的三维图形解的局部特征影响不是很大，但还是会影响整体的变化趋势。而使用PDE工具箱，可自主设置t的初始值，不会因时间而过多影响方程的三维图形解。
通过比较分析方程(1)、(2)、(3)的数值解和解析解，以及方程组(4)，结果表明:
1)在数值分析的过程中，PDE工具箱会将原方程式加以简化以方便用有限元法进行数值分析。如在使用有限元方法进行分析时，会根据选择的数值逼近方法、插值方法、网格划分等计算方法而进行不同程度的简化。因此利用PDE工具箱求得的是一系列分离的数值，而解析解是一连续的分布，故其准确性肯定不如解析解[13]。
马艺文2)通过四个算例的数值模拟分析表明，用PDE工具箱得到的数值解与方程的解析解吻合度较高，效果良好，简单方便。
【相关文献】
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[2] 宋克志.基于Matlab语言的有限元法及其应用[J].鲁东大学学报(自然科学版)，2004，20(2):100－102.
[3] 李灿，高彦栋，黄素逸.热传导问题的Matlab数值计算[J].华中科技大学学报(自然科学版)，2002，30(9):92－93.
[4] 张帅一，刘辉兰，于果蕾，等.LD端面泵浦圆柱形Nd:YAG晶体热效应研究[J].红外，2007，28(03):1672－8785
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er－diode end－pumped laser to higher power:influence of thermal effect[J].IEEE Journal of Quantum Electron，1997，33(8):1424－1429.
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