摘 要
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=[∂−(+)∂+]=
Lφpλλqφ
得到其相关的非线性演化方程族与Bargmann系统。 K J以及与谱问题对应的非线性演化依据相容性条件得到双Hamilton算子,
方程族。再由Lax对非线性化方法给出Bargmann约束并构建出谱问题相应的Bargmann系统。以经典力学理论为基础通过Euler-Lagrange方程算得广义动量，从而在辛空间上引入合理的Jacobi-Ostrogradsky坐标。在Bargmann约束和Jacobi-Ostrogradsky坐标系的作用下，得到与之对应的有限维Hamilton正则系统。最后检验其在Liouville意义下的完全可积性，并给出非线性演化方程族的对合解。 关键词：谱问题；Lax对非线性化；Hamilton正则系统；可积性；对合解
Abstract
This paper focuses on a second-order spectral problem where the energy depends on the potential:
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Lφpλλqφ.
=[∂−(+)∂+]=
Its corresponding nonlinear evolution equations and Bargmann system are obtained.
K J and the Under the compatibility condition, the double Hamilton operators , nonlinear evolution equations corresponding to the spectral problem are calculated. Then the Bargmann constraints are given by the nonlinearization of Lax pairs and Bargmann system corresponding to the spectral problem is constructed. Based on the classical mechanics principle, the generalized momentum is calculated by the Euler-Lagrange equation, then reasonable Jacobi-Ostrogradsky coordinates are introduced in the symplectic space. Under the interaction of Bargmann constraint and Jacobi-Ostrogradsky coordinate system, the corresponding finite-dimensional Hamiltonian canonical system is obtained. Finally, the complete integrability in the sense of Liouville is verified and the solutions of
nonlinear evolution equations are obtained.
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Key words: spectral problem, the nonlinearization of Lax pairs, Hamiltonian canonical system, integrability, involution solution
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月壤第一章绪论 (1)
1.1.1 孤立子理论的背景 (1)
1.1.2 可积系理论的背景 (2)
1.1.3 孤立子理论与可积系的研究意义 (3)
1.2 孤立子理论与可积系的国内外发展动态 (4)
1.3 课题研究概要 (5)
第二章二阶谱问题的Lax对非线性化 (6)
2.1 泛函梯度 (6)
2.2 Lax表示 (8)
荧屏连着我和你2.3 演化方程族 (10)
第三章谱问题在Bargmann等价形式下的Hamilton正则型 (12)
3.1 谱问题的Bargmann等价形式 (12)
3.2 J-O坐标下的Hamilton正则型 (13)
第四章与原问题等价的矩阵谱系及其Liouville可积性 (17)
大禹治水玉山
4.1 等价于原问题的矩阵形式 (17)
湿婆天4.2 正则系统的Liouville可积性 (20)
4.3 对合系证明 (22)
第五章结论 (28)
参考文献 (30)
致谢 (32)
个人简历、在学期间的研究成果及发表的学术论文 (33)
第一章 绪 论
1.1 孤立子理论与可积系统的背景意义
客观世界因其本身复杂性大多呈现千奇百怪的非线性特性。非线性科学分支中孤立子理论是一门交叉性、融合性都很显著的学科，能够展现自然界独特的非线性现象。孤立子理论在物理和数学领域的深入研究，极大限度地发挥了其不可替代的应用潜力。近年来，探究孤立子与可积系统理论的工作尤显重要，诸多学者仍然备受关注。
1.1.1 孤立子理论的背景
19世纪30年代，英国著名科学家John Scott Russel首次注意到孤波现象，并在1844年9月以“论波动”为题谈到这奇妙的景象。然后，通过大量的实验模拟验证，水波的运动速率和其振幅的高度紧密相关——水波振幅的高低与其运动速率的平方呈现一次函数趋势，而且它的幅度与高度的比值相对来说
比较窄。而极大意义上推动孤立子理论向前发展、逐渐完善的人为荷兰数学家D.Korteweg 及其学生G.de Vries。1895年，他们在研究流体运动学时到浅水波模型，并构造了著名的KdV方程式。继而运用行波法得到与Russel描述的孤波现象一致的钟型孤波解，从理论角度证明了孤立波之存在性。
那时孤立波还未被大家深入认识，以致于Korteweg和de Vries的研究得不到学术界足够的重视。直至20世纪50年代，虽然物理学家Fermi,Pasta与Ulam所进行过的FPU实验[1]没有得到孤立波解，但它将孤立波拓展到了流体力学以外的研究领域。后来Toda研究了FPU问题模式下晶格点阵的原子位错运动模型，首次发现除流体力学外的领域存在孤立波解。此项工作恰恰正确解答了FPU问题。1962年，Perring和Skyrme对Sine-Gordon模型进行了数值求解，研究发现：Sine-Gordon 模型存在孤波解，且两个孤立波相互碰撞以后孤波并不发生塌陷现象。直至1965年，美国数学家Kruskal和Zabusky开始于连续统一角度研究FPU问题，将FPU问题的离散模型近似的约化成KdV方程。然后利用数值实验模拟KdV方程孤波之间的碰撞，据实验和理论分析，发现：孤波相互碰撞前后高度不变，仅是波的运
动轨迹发生偏离。碰撞之后，遵循能量及动量守恒定律，有弹性散射现象的性质，向前如此进行传播。Kruskal与Zabusky把这种粒子性的孤波[2]称为“孤立子”，并揭示了孤立波的性质。1967年R.M.Miura等人首次成功获得KdV方程的N-孤子精确解，并用数学解析式解析了孤立子之间的相互作用。受其影响，世界范围内揭起一场狂热的孤立子研究工作。1984年J.R.Wu.Keolina和I.Rudnick经过实验发现的非传播孤立子被认为当代非线性波研究的一个重大进展。随着交叉学科的出现，孤立子理
论与可积系统[3]的发展日渐迅猛。
1.1.2 可积系理论的背景
起初孤立子理论[3]的研讨焦点更多集中于数学问题，即探求非线性方程的系统解法和可积方程的一系列代数几何性质。自20世纪60年代以来，有限维Hamilton系统的几何理论逐步建立。Liouville-Arnord定理[4,5]便是这个体系的一个里程碑式的理论。颇多非线性方程于这个年代被验证在Liouville意义下是完全可积的，其中KAM理论[5]做出了巨大的贡献，此后其在数学理论中极具标志性的确立。大约半个世纪人们处于怀疑之中，也是在这时各种质疑被打破。在众多科学家做的大量工作中，最具影响力的是Wahlquist和Estabrook（1975）一起研究出的延拓结构法[6]。经过数十载的精心研究，求解孤立子方程的方法也取得了众多重大的成就，如摄动法、Bäcklund变换法（BT）、反散射方法（IST）[4]、Hirota的双线性导数法[4]、Painlevé分析法、达布变换法(BT) [7]、代数曲线[7]等。根据人们的研究表明，非线性波动方程不仅具备近似性质，还满足Lax对无穷守恒律[4]，非等谱和等谱流，而且相关的演化方程族均属于无穷维Hamilton系统[3,4]等。
在有限维的Hamilton系统探索中，学者们意识到能够把与之相关的数学理论推行并运用到无限维空间。事实上，无限维的守恒系统的可积性一般在两种情况下进行定义，即Lax意义下可积及Liouville意义下可积[2,8]。基于以上二类可积，学者们给出了可积系统的两种类型：(1)连续无穷维可积的系统[3,
4]，(2)离散无穷维可积的系统。自KdV方程以来，连续无穷维可积的系统已经得到极其迅猛的发展。特别在1989年，迹恒等式被屠规章[8]教授提出并应用于构造孤子方程族[4]的Liouville可积意义[4]下的Hamilton结构。1992年马文秀教授赋予它“屠格式”的称呼。曹教授将孤子方程对应的谱问题中特征函数与无反射位势函数之间建立约束关系，提出一种Lax对非线性化的方法。使用这种办法构造有限维的可积系
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