文献综述
信息与计算科学
一类广义Burgers 方程的行波解-孤立子研究综述 孤子是最早在自然界观察到, 并且可以在实验室产生的非线性现象之一, 从发现孤子到现在虽经历了一百多年, 但是它的重大发展和在许多学科(例如光纤孤子通信，非线性光学中的空间光孤子, 磁通量子起见, 约瑟夫逊计算机, 电荷密度波和自旋密度波, 生物学中的达维多夫孤子, 等离子体中的孤波等)中的应用开始于20世纪70年代. [1~3]孤子的发现应追溯到1834年的夏日,
英国科学家Russel 骑马正沿着一条运河岸道旅行, 偶然发现在狭窄的河床中行走的船突然停止前进，被船体带动的水团积聚在船头并剧烈地翻动着. 不久, 一个圆形且轮廓分明的巨大孤立波峰开始形成, 并急速离开船头向前运动.波长约10米, 高约0.5米, 在行进中波的形状和速度并无明显改变, 以后高度逐渐下降. 在跟踪二至三公里后, 终于消失在蜿蜒的河道上. 这次发现的奇特景观促使Russel 开始广泛的水波实验研究. 他认为这类波应是流体运动的一个稳定解, 并称为孤波. 但他始终未能从理论上证实孤波的存在. 结果导致Russel 向英国科学院提交的报告引起当时物理学界的激烈争论. 直到1895年, 荷兰著名科学家K
orteweg 和他的学生de Vries 在对孤波进行全面分析后指出这种可近似为小振幅的长波, 并以此建立了浅水波运动方程.
[4~5]
, , (1) 232(242d r ησηαηηξ∂=++∂∂133Th h g
σρ=-, 1
33Th h g σρ=-其中为波面高度, h 为深度, G 为重力加速度, 是水的密度, 是与水的匀速流动有关的ηρσ小常数, T 是水的表面张力. 此后Korteweg 和de Vries 利用行波法求出与Russel 描述一致的孤波解, 争论才告终止.
如果作变换
. (2)
11,
23t x u ηα===+
则方程(1)可写成标准的形式
, (3)
60t xxx x u u uu ++=后人为了纪念这两位伟大的学者对孤波做出的贡献将(1)或(3)称为KdV 方程.
时间跨越了70年, 转眼之间来到了1965年, 美国科学家Kruskal 和Zabusky 利用先进
的计算机通过数值计算详细研究了KdV 方程两波互相作用的全过程. 他们对作用后所
[6~7]得的数据进行对比, 发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散的性质, 所以Kruskal 和Zabusky 又将这种稳定的孤波成为孤子.
从此一个研究非线性发展方程与孤子的热潮在
学术蓬勃地开展起来.
随着研究的深入, 大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各领域不断被揭示出, 其
中包括等离子中的非线性Schrodinger 方程、振子运动的Toda 链与二维流体流动的KP 方
程等. 研究的结果表明, 这些方程具有共同的性质. 例如它都存在Lax 对于无穷守恒律, 都
存在等谱流于非等谱流, 且相关的等谱流方程族构成无穷维Hamiton 系统等. 此外在这一时
期求解技术也取得长足的发展, 除反散变换外还产生出Hirota 双线性导数方法, Backlund
变换与Wronskian 技术. 现在孤子已经形成了自己独特的理论和研究方法, 并且在自然科学
的各领域中寻觅到它应用的踪迹.
孤子不仅是非线性偏微分方程的一类特殊解, 而且还代表某种具体的物理过程. 存在非
线性是产生孤子的必要条件, 而要维持孤子波形稳定不变, 则需要同时存在别的物理效应.
非线性和这些物理效应共同作用的结果, 使得孤子能够产生并维持波形稳定不变. 例如光纤
中的时间光孤子, 同时存在非线性效应和散. 散使波形展宽, 非线性效应使波形变窄.
在一定条件下两种效应达到平衡, 维持波形稳定. 而对于光折变介质中的空间光孤子, 则是
存在非线性效应和衍射.
孤子解是非线性偏微分方程的一类特殊解. 一个非线性偏微分方程代表某种物理过程,
孤子解也具有确定的物理意义. KdV 方程, 非线性薛定谔, sine-Gordon 方程等具有孤子解
[8].
从数学的观点看, 具有下列两性质的特殊解称为孤子解:
(1)能量有限, 且分布在有限的空间范围内;
(2)弹性碰撞(即在碰撞后能恢复到原来的波形和速度).
泰诺福韦但是, 从物理学的观点看, 一般认为, 具有性质(1)的特殊解就可以称为孤子. 以粒子物
理学中的孤子问题来说明这一点是最清楚的. 在粒子物理学中, 将孤子看成是量子场的激发
态, 微观系统中的能量状态是分立的, 人们所关注的是碰撞前后处于什么量子态, 而不是波
形是否改变, 又例如在单模光纤中的亮孤子, 其中高阶孤子的波形在传播过程中会产生周期
性的变化, 对于这些波形在穿传输过程中有明显变化的孤子, 在物理学上任然称为孤子. 所
以一般的只具有性质(1)的就可以称为孤子.
研究一类广义的Burgers 方程有很多种方法, 例如: 迭代法、微扰法、直接积分法和椭
圆函数法等. Burgers 方程可描述许多物理现象, 如黏性介质中的声波, 具有导电的磁波
[9]流, 充满流体的黏弹性管中的波等, 其一般形式为
,
0u uu u t x xx α+-=其中为耗散系数. 本文是用直接积分法求解一类广义Burgers 方程的行波解.
α在现代科学中, 广义的Burgers 方程模式是一个重要的和普遍的非线性模式, Burgers 方
程是非线性耗散方程, 它在等离子体物理, 非线性光学, 量子场论和通信技术等领域有着重
孔东梅的孩子要的地位和作用. 众所周知, 自从发现Burgers 方程的孤立波解或孤立子以来, 在理论和数
值方面已经出现了许多重要的文献发展它的孤子理论. 因此求得Burgers 方程更多的新的精
确解受到了数学和物理工作者的关注, 它们对理论和应用的研究都有重要的价值.
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