一、本章的教学目标及基本要求:
1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念; 2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件;
3、掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件;
4、掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法,会用根值审敛法;
5、掌握交错级数的莱布尼茨定理;
6、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念,以及绝对收敛与条件收敛的关系;
7、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念;掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法;了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质, 8、会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和;了解函数展
开为泰勒级数的充分必要条件;
9、掌握,,,和的麦克劳林展开式,会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数;了解幂级数在近似计算上的简单应用;
10、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理,会将定义在上的函数展开为傅里叶级数,会将定义在上的函数展开为正弦级数与余弦级数,会写出傅里叶级数的和函数的表达式。
二、本章各节教学内容(列出节名)及学时分配:(20学时)
第一节 常数项级数的概念及性质 2学时
第二节 常数项级数的审敛法 4学时
第三节 幂级数 3学时
第四节 函数展开成幂级数 3学时
第五节 函数的幂级数展开式的应用 2学时
第七节 傅里叶级数 4学时
第八节 一般周期函数的傅里叶级数 1学时
本章小结 1学时.
三、本章教学内容的重点和难点:
重点:无穷级数的收敛与发散,正项级数的审敛法,幂级数的收敛半径与收敛区间的求法.
难点:正项级数的审敛法,幂级数展开,傅立叶级数展开.
四、本章教学内容的深化和拓宽:
五、本章的思考题和习题:
第一节 常数项级数的概念及性质
一、内容要点
1、常数项级数概念:
常数项级数、部分和、级数的收敛与发散、余项;
例1.
2、收敛级数的基本性质及收敛的必要条件:
性质1:若级数收敛于和s,则级数也收敛,且其和为ks.(证明)
性质2:若级数、分别收敛于和s、,则级数也收敛,且其和为s±.(证明)
性质3:在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性.(证明)
性质4:若级数收敛,则对这级数的项任意家括号后所成的级数仍收敛,且其和不变.(证明);
性质5(级数收敛的必要条件):若级数收敛,则它的一般项un趋于零,即.移位左转(证明);
例2,例3.
二、教学要求和注意点
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第二节 常数项级数的审敛法
一、内容要点
正项级数及其审敛法:
1.正项级数的概念;
2.基本定理:正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和数列{sn}有界.(证明)
3.比较审敛法:设和都是正项级数,且un vn (n = 1, 2, …).若级数收敛,则级数收敛;反之,若级数发散,则级数发散.(证明)
推论:设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,使当n N时有un kvn (k > 0)成立,则级数收敛;如果级数发散,且当n N时有un 外包培训kvn (k > 0)成立,则级数scp范式发散.
例1,例2;
4.比较审敛法的极限形式:设和都是正项级数,
(1) 如果,且级数收敛,则级数收敛;
(2) 如果石家庄七一学校或,且级数发散,则级数发散.(证明)
例3~ 例7;
5.比值审敛法(达朗贝尔判别法):设为正项级数,如果
,
则当 < 1时级数收敛; > 1(或)时级数发散; = 1时级数可能收敛也可能发散.(证明);
例8,例9;
6.根值审敛法(柯西判别法):设为正项级数,如果
,
则当 < 1时级数收敛; > 1(或)时级数发散; = 1时级数可能收敛也可能发散.(证明);
例10;
7.极限审敛法:设为正项级数,
(1) 如果(或),则级数发散;
(2) 如果p>1,而,则级数收敛.(证明)
例11,例12.
交错级数及其审敛法:
1.交错级数的概念:
2.莱布尼茨定理:如果交错级数满足条件:
(1) un un + 1 (n = 1, 2, 3, …);
(2)
则级数收敛,且其和s u1,其余项rn的绝对值 rn un + 1. (证明)
例12,例13.
绝对收敛与条件收敛:
1. 绝对收敛与条件收敛的概念;
2. 定理:如果级数绝对收敛,则级数必定收敛.(证明)
例14 ~ 例16.
二、教学要求和注意点
第三节 幂级数
一、内容要点
函数项级数的概念:
函数项级数、部分和、收敛点、发散点、收敛域、发散域、和函数.
幂级数及其收敛性:
1.幂级数的概念;
2.幂级数的收敛性:
例1;
(1) 定理1(阿贝尔(Abel)定理) 如果级数当x = x0(x0 0)时收敛,则适合不等式呈坎村 x < x0 的一切x使这幂级数绝对收敛.反之,如果级数当x = x0时发散,则适合不等式 x > x0 的一切x使这幂级数发散.(证明)
推论:如果幂级数不是仅在x = 0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个确定的正数R存在,使得
当 x < R时,幂级数绝对收敛;
当 x > R时,幂级数发散;
当x = R或x = R时,幂级数可能收敛也可能发散.
(2) 幂级数的收敛半径与收敛区间的概念;
(3) 幂级数的收敛半径的求法:
定理2:如果
,
其中an、an + 1 是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径
(证明),
例2 ~ 例7;
3.幂级数的运算:
幂级数的加法、减法、乘法、除法;