五、积分的应用
（一）定积分的应用
1 ．几何应用
挠度
1 ）直角坐标情形
设平面图形由曲线 y = f ( x ）、y = g ( x ) （f（ x ) ≥g ( x ) ）和直线 x = a 、 x = b
所围成（图 1-3 - 8 ) ，则其面积
2 ）极坐标情形
设平面图形由曲线＝（ )及射线＝a、＝所围成（图 1-3-9 ) ，则其面积
( 2 ）体积
l ）旋转体的体积
设旋转体由曲线 y = f ( x ）与直线 x = a 、 x = b 及 x 轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成（图 1-3 -10 ) ，则其体积
2 ）平行截面面积为已知的立体的体积
设立体由曲面及平面 x = a 、x = b 所围成，过点x且垂直于 x 轴的截面面积为 A ( x ) （图 1- 3- 11 ) ，则其体积为
( 3 ）平面曲线的弧长
l ）直角坐标情形
设曲线的方程为 y = f ( x ) ( a x b ) , f ( x ）在 [ a ，b]上具有一阶连续导数，则其弧长
2 ）参数方程情形
设曲线的参数方程为 x ＝（ t ) , y ＝（ t ) （at ）,（ t ）、（ t ）在[ a,]上具有连续导数，则其弧长
3 ）极坐标情形
设曲线的极坐标方程为＝（） ( a ），（ ）在［ a ，］上具有连续导数，则其弧长 s =
2 ．物理应用
( l ）变力沿直线所作的功
radarsat设物体受变力 F （x）的作用，沿 x 轴由点 a 运动到点 b ，力 F 的方向同 x 轴的正向，则力 F 所作的功为
( 2 ）水压力
设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为 y 轴，x 轴铅直向下（ 图 1-3 -12 ) ，设薄板的形状为
则薄板一侧所受的水压力为
其中为水的密度， g 为重力加速度。
（二）二重积分的应用
1 ．曲面的面积
设曲面的方程为 z = f ( x ，y)，在 x Oy面上的投影区域为 D , f （x，y）在 D 上具有一阶连续偏导数，则曲面的面积
设平面薄片占有 x Oy面上的区域 D ，薄片在 D 上任一点 P ( x , y ）处的面密度为μ（ x , y ) ，则薄片的质量为
薄片重心的坐标为
薄片关于 x 轴、 y 轴的转动惯量为
木栈道（三）例题
【 例 1 -3 -25 】 计算由两条抛物线：y2 = x 、 y ＝x2所围成的图形的面积。
【解 】 两条抛物线所围成的图形如图 1-3-13 所示， x 的变化区间为 [ 0 , 1] ，所求面积为
【例 1- 3 -26 】 计算心形线＝ a ( 1 + cos ） ( a> 0) 所围成的图形的面积。【 解 】 心形线所围成的图形如图 1-3 -14 所示，的变化区间为 [-,GINLIN]。所求面积为
【 例1-3-27】 计算由椭圆= 1所围成的图形绕 x 轴旋转而成的旋转椭球体的体积为
火星探测器都有哪些特点?
【解 】 这个旋转体也可看作是由半个椭圆
及 x 轴围成的图形绕x轴旋转而成。 x 的变化区间为「- a , a ］。所求体积为
故应选（ C ）。
【例 1 -3 - 28】 求悬链线： y = c ch 介于 x ＝ - b 与x＝ b 之间的一段弧的长度。
【解】 x 的变化区间为 [- b , b ] ，y' ＝sh ，从而所求弧长为
【例1 - 3 -29】 计算摆线 x = a（- sin) ，y＝ a ( 1 - cos）的一拱（ 0 2）
（图 l -3-15 ）的长度。
【 解 】 的变化区间为 [0 , 2], x '（xx门） = a ( 1 一 cos ) ，y’（） = asin ，所求弧长为
【 例 1-3 – 30】 求半径为 a 的均匀半圆薄片（面密度为常量μ）对于其直径边的转动惯量。
【 解 】 取坐标系如图1-3-16 所示，薄片所占闭区域
所求转动惯量即半圆薄片对于 x 轴的转动惯量
其中M =为半圆薄片的质量。
第四节 无穷级数
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