正项级数收敛的判别方法

数学与统计学院应用数学系

综合课程设计成绩评定书

设计题目：正项级数收敛的判别方法

黄亚虎

摘要：

各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。

关键字：正项级数收敛比较原则比式判别法根式判别法积分判别法

1基本概念

1.1n-二甲基亚硝胺数项级数及其敛散性

在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。

定义1：给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

（1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中称为数项级数的通项。

数项级数(1)的前项之和，记为，称为（1）的前项部分和。

定义2：若（1）的部分和数列收敛于（即），则称数项级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为，若为发散数列，则称数列（1）发散。

根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质：

(i) 收敛级数的柯西收敛准则

级数（1）收敛的充要条件是：，，，，有

(ii) 级数收敛的必要条件：若级数收敛，则.

(iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。

(iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。

(v) 运算性质：

若级数与都收敛，是常数，则收敛，且满足

1.2 正项级数及其收敛的判别方法

设级数的各项（）, 则称级数为正项级数.

显然，正项级数的部分和数列是单调增加的，即

由数列极限存在准则知：如果这个数列有上界，则它收敛；否则它发散.根据这一基本事实，可以得到正项级数收敛的基本定理。

板式蒸发器定理1(基本定理) 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数，对一切正整数，有.

证:由于，所以是单调递增数列，而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理）.即上述定理得证。

定理2(比较原则) 设与均为正项级数, 若存在常数，或者对于都有

本文发布于:2024-09-22 04:17:40，感谢您对本站的认可！

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