引言
设函数列与函数定义在同一数集上，若对任给的正数，总存在某一正数，使得当时，对一切，都有
则称函数列在上一致收敛于，记作
，
设是定义在数集上的一个函数列，表达式
称为定义在上的函数项级数,简记为或；称
, ,
为函数项级数的部分和函数列．
设数集为函数项级数的收敛域，则对每个，记，即，称为函数项级数的和函数，称为函数项级数的余项．
定义我最美丽的时候1 设是函数项级数的部分和函数列，若在数集上一致收敛于函数，或称函数项级数在上一致收敛于，或称在上一致收敛．
由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义．
江苏医药价格网
定义2 设是函数项级数的部分和函数列，函数列，和函数都是定义在同一数集上，若对于任给的正数，总存在某一正整数，使得当时，对一切，都有，则称函数项级数在上一致收敛于函数，或称在上一致收敛．
同时由，故在上一致收敛于0．
定义3 设函数项级数在区间上收敛，其和函数为，部分和函数列，若，，及，使得，则函数项级数在区间上非一致收敛．
例1 试证在上一致收敛，但在内不一致收敛．
证明 显然在内收敛于．
对任意的，欲使当和时，恒有
成立,只要当时,恒有
成立,只要当时,恒有
成立,只要当昂达vx530时，恒有
成立，只要取即可．依定义，在上一致收敛于．
存在，对任意自然数，都存在和，使
成立，依定义，在内不一致收敛．
二 函数项级数一致收敛性的判定方法
定理1 Cauchy一致收敛准则
函数项级数在数集上一致敛的充要条件为：
对，总，使得当时，对一切和一切正整数，都有
或
或
特别地，当时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：
推论1 函数项级数在在数集上一致收敛的必要条件是函数列在
上一致收敛于．
定理2 函数项级数在点集上一致收敛于的充分必要条件是：
．
定理3 放大法
是函数项级数的部分和函数列,和函数,都是定义在同一数集上,对于任意的,存在数列,使得对于,有,且,则称函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于函数.
证明 因,故对任给的,借贷记账法(与无关),使得当时,对一切,都有.由定义2得函数列一致收敛于,即函数项级数在上一致收敛于朵康.
注:用放大法判定函数项级数一致收敛性时,需要知道.
定理4 确界法
函数项级数在数集上一致收敛于的充要条件是
证明 充分性 设是函数项级数的部分和函数列, 为和函数,则有，并令，而，即,由定理3(放大法)得知函数项级数一致收敛于函数.
必要性
注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题．
定理5 若在区间上收敛,则dcg在上一致收敛的充要条件是,有.
证明 充分性 假设在上不一致收敛,则,,使得,如此得到,但,这与已知条件矛盾.
必要性 因已知在上一致收敛,所以,使得当时,对一切,都有,对于,则有,即,得.
例2 设，，在上连续，又在收敛于连续函数，则在一致收敛于．
证明 已知（其中）是单调递减且趋于0，所以有，且>0,时,有.
将固定,令,因为在上连续,既然,所以,当时, .从而时更有即,仅当.
如上所述,对每个点,可到相应的领域及相应的,使得时,对恒有.
如此{:}构成的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖,不妨记为{},于是,总使得),取,那么时,恒有,由定理5得在一致收敛于.
定理6 判别法或优先级判别法或Weierstrass判别法
设函数项级数定义在数集上,为收敛的正项级数,若对一切,有
豫公网安备41160202000603
站长QQ:729038198
关于我们
投诉建议