介绍一下两种无穷观点
所谓实无穷与潜无穷，从字面上来理解，就是在讨论无穷到底是不是存在的。
支持实无穷派的主要观点主要有以下两个：首先，物质不是无限可分的，存在着最小的单位；第二，无穷大是可以构造出来的。例如：他们认为“全体自然数”是存在的，因为每个自然数都是可以数到的，既然每个自然数都存在，那么“全体自然数”当然是存在的。
而潜无穷派则与之相反，他们认为：首先，物质是无限可分的；第二，无穷大是无法构造出来的。与实无穷派相对应，他们认为：“全体自然数”是不存在的，因为自然数是数不完的，这表明自然数的产生是个无穷无尽的过程，只有这个过程结束了，才能得到自然数全体，但这个过程无法结束，因而无法得到自然数的全体。
用书上的话来说，就是“是否承认无限延伸过程能够自我完成”。说白了，就是理想主义和现实主义的差别。
其实这两派的关系就像复平面和复数球面的关系。或者如果你没学过复数，那么你考虑一个数轴，它代表了全体实数，你可以在上面到任何一个实数所对应的点，但是无穷点呢？他在哪儿？这就难办了，因为你不可能在这条直线上到他。所以，无穷就是“潜”的。好，我们现在考虑一个圆，他在原点和数
轴相切，我们姑且称切点叫“南极”，而圆上与之共直径的那一点叫“北极”，我们可以在北极和数轴上任意一点连线，而与这个圆的交点就可以代表相应的数。这样，这个圆依然可以代表所有实数，上面的点和实数集依然可以对应，而且，我们发现，我们可以在上面到无穷这个点——那就是北极——他同时代表了正负无穷。于是，无穷就又成了“实”的。
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或许现在，你可能对这两个概念已经有了一个大致的了解了。下面，咱们就说一下芝诺。芝诺提出过的悖论很多，但最有名的还是那四个：二分法，阿基里斯追乌龟，飞矢不动和运动场。 三、芝诺的悖论
先说说芝诺，具体的资料很多，大家可以自己百度一下。他是当时埃里亚学派的巴门尼德的学生和朋友，对于他的生平，记载很少，柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中有些记载，但据说是编的……不过大致观点基本是靠谱的。关于埃里亚学派，很有的一说，不过您自己到这里来看就可以了：baike.baidu/view/114109.html
芝诺提出过的悖论很多，但最有名的还是那四个：二分法，阿基里斯追乌龟，飞矢不动和运动场。这四个悖论的出处，都是亚里士多德的《物理学》，亚里士多德记载的目的就是为了说明芝诺的错误。那么，咱们就看一看亚爷爷是咋说的吧
二分法悖论：“
运动不存在．理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处。”
阿基里斯追乌龟悖论：先说一下，阿基里斯(Achilles)，并非荷马史诗《伊里亚特》中的英雄阿基里斯，而是古希腊奥运会中的一名长跑冠军。这个论点的意思是说：“一个跑得最快的人永远追不上一个跑得最慢的人．因为追赶者首先必须跑到被追者的起跑点，因此走得慢的人永远领先．”
飞矢不动悖论：“如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时(没有越出它)，它是静止着．如果位移的事物总是在‘现在’里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的．”
运动场悖论：“第四个是关于运动场上运动物体的论点：跑道上有两排物体，大小相同且数目相同，一排从终点排到中间点，另一排从中间点排到起点．它们以相同的速度沿相反方向作运动．芝诺认为从这里可以说明：一半时间和整个时间相等。”
好的，亚爷爷的话说完了，我们来一一分析一下。首先，这四条肯定都是不对的，为什么错呢？这不是我现在要说的，你可以自己想一想或者查一下相关的书。
我现在要说的是：为什么芝诺他不干点儿别的事情，偏偏会琢磨出这几个问题呢？ 这要从当时的两个代表性观点说起。那就是我们前面提到过的：爱奥尼亚派的“物质无限可分”，和以德谟克利特为代表的朴素原子论派的“存在最小不可分的原子，物质由原子堆积而成”这两种无穷观点。
芝诺是哪派呢？他哪派都不是，在起初，他和他老师是毕达哥拉斯学派的，但是后来他们脱离了组织。于是他编出了这四个悖论，分别反击这两派。
也就是说，他提出这四个悖论的目的并不在于想搞明白什么事情。芝诺就是想对那些人说：你们的观点都太幼稚啦！都是有很多缺陷的！
首先，我们记得有一派的观点是：运动和空间无限可分。这样的话，运动就必然是连续和平滑的。于是，芝诺就编出了第一个悖论：一个物体在运动到目的地之前，必须先到一半的位置，于是得先到四分之一的位置。于是………………它就得抵达无穷多个位置，于是就永远在起点附近哪儿一点一点挪，每次走１／２＾ｎ，而在ｎ是无穷的情况下，这个距离就是０。另外的一种说法是：要通过有限的长度，就必须通过无穷多的点，这就意味着必须到达没有终点的某种东西的终点。
我们先来看看亚爷爷的解释：一个事物的无限性有两种意义：无限可分和无限宽广。在有限时间内可以接触从可分意义上是无限的东西，因为从这意义上讲时间也是无限的；所以在有限时间内可以通过有限的长度。
当然，我们现在知道，无穷
级数求和也可以是收敛的。但是当时芝诺这么说就是想告诉众人：无限可分是不对的！如果你们假设
有限可分的话，那么一次至少要移动一个单位，那么这个悖论就没问题了！芝诺的想法是合情合理的，所以我们在看到一些人反对这个悖论时，就是再往“量子”上面靠。但是这样解释等于没解释，因为芝诺提出这个悖论的目的就是说“无限可分不对”，你这样解释等于赞同了芝诺的观点。你的前提与这个悖论的前提都不一样，当然不会出现矛盾。
那么在这个悖论的前提下，是否能有解释呢？我们抛开现实世界，至少实数是无限可分的，那么我们就在实数的背景下来讨论这个问题。于是这个问题就变成了：无穷级数的和能否都会发散。而这个答案当然就是有些无穷级数是收敛的。这样一来，这个悖论才能算是在他的原有前提上得到了解释。
好的，无穷级数可以收敛，那么他会收敛到哪里呢？于是就有了第二个悖论。
第二个悖论实际上是芝诺的老师先提出来的，背景也就是无穷级数的问题。说起来，这个问题至今在数学吧仍然有很多初学者在争论。那就是０.９９９……和１的关系的问题。
当时的毕达哥拉斯派认为：１＞０．９９９…，１－０．９９９……＞０。芝诺的观点呢，是１＝０．９９９…，但是１－０．９９９……＞０。他的老师则认为１－０．９９９…＝０，或１－０．９９９……＞０。
于是他的老师就编出了这个悖论嘲笑毕达哥拉斯和芝诺。不过这给悖论还真是很厉害，因为他是多功能的——后来芝诺又用用同样的悖论来嘲笑他的老师的观点…………
亚爷爷是这么说的：如果运动的较慢的对象通过一段有限的路程，那么根据他针对第一个悖论所说的，是可以追上的。 法
这个悖论和第一个悖论区别不大，只不过是不用再不断平分了，而是可以任意分。
也就是说：如果说解释第一个问题需要证明１／２＾ｎ这个级数收敛的话，那么解释第二个问题，就得证明，除了那个等比级数以外，还有很多很多无穷级数是可以收敛的。
而悖论中所要说明的最重要的问题就在于：收敛的具体意义是什么？是达到呢？还是无限逼近呢？０.９９９……是小于１呢，还是等于１呢？
这个收敛是一个无穷的过程，所以按照前无穷的观点，是永远达不到的。而实际情况是肯定能追上的，于是就出现了悖论。
现在，我们已经有了关于无穷级数的很多知识，于是我们就可以很好的解释这个问题了，具体的解释呢，查书。
芝诺对潜无穷派的挑战告一段落，他又开始到实无穷派那里茬了。
按照物质有限可分的观点，时间和空间是
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由不可分割的小段组成的，这样，物体的运动，就只能是一连串的跳动。
那么，在这些跳动的间隙里，物体在干什么呢？那当然就是静止了。
于是，就有了飞矢不动悖论：箭每一时刻都有一个确定的位置，因而就处在某一确定的时空小段上。也就是说箭每一时刻都是静止的。
亚爷爷说了：如果我们不承认时间具有不可分割的单元，那么这一悖论就不存在了。
确实如此，所以很多人在解释这一悖论的时候，都没有注意到这个前提。现在的物理学已经对这一问题有了很好的解释，具体内容，查书。
第四个悖论乍看上去非常扯淡，亚爷爷和芝诺的阐述都很复杂而且模糊，说白了其实就是这么一回事：咱连面对面走，相对某人都走了半米，同时，我相对你走过的距离和你相对我走过的距离都是一米。然后得出的结论太离谱：一半的时间等于全部的时间。
初看这个悖论，我甚是迷惑：小芝同学是想说什么啊？是相对运动的参照系不同，速度就不同，还是没有绝对参照系来判定速度？
但是假如我们把这理解成为攻击时空具有不可分割的最小单元而提出的，那么就很好理解了。假设我
们把一米理解成一个最小单位，那么这个悖论实际是在说：最小的单位也是可以被分割的！就像这个悖论所做的那样！
好吧，这个悖论实在是太不靠谱了，以致很多书都把他直接忽略掉……
总结一下，芝诺的目的就是：通过前两个悖论证明潜无穷是错的，通过后两个悖论证明实无穷是错的。
那芝诺认为什么是对的呢？这就没人知道了。
当然像康德和帕斯卡是属于“无穷不可知论”派的，这派的意思就是说：无穷这个问题是我们不可能搞明白的，是超出了人类的能力范围的，所以我们就不要去想啦！
这种回避问题的观点，我们也把他回避掉。四、对于无穷的注意事项
人的实力实在是太弱了，所以一碰上无穷的事儿，就很容易犯迷糊。
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这里就说三点注意事项：
第一，不要忽视无穷概念本身的重要性，不要逃避和无穷相关的问题。希尔伯特说了：研究无穷的本性，并非只属于专门科学兴趣的范围，而是人类理智的尊严本身所需要的。
第二，对于无穷的概念一定要仔细理解。比如：有一种对于０.９９９……＝１的证法是这样的：１／９＝０.１１１……，则９／９＝０.９９９……＝１。这个证法没什么毛病，但是这需要一个前提：乘法交换律对无穷级数求和是成立的，当然，这个级数收敛，所以这么做是没错的。但是对其他一些性质，比如哪些性质对所有无穷级数成立，那些只对收敛级数成立，还有哪些只对绝对收敛或者一致收敛的成立，
这些都要注意。
第三，对于无穷的问题的理解，一定要建立在严格的数学推导上，不能想当然。这点我想不用我多说，大家都明白。
这样，这篇帖子也就差不多了。最后再随便写点儿东西，可能不太严谨，您就凑合着当科幻看。
五、最后的内容
实际上，到底哪一种无穷观点是对的，这谁也说不好。
广东海洋大学学报这是一段摘录的内容“希尔伯特与布劳威尔不同，他是承认实无穷的，并且他的证明论计划是旨在保卫古典数学成果，排除悖论，重建数学基础。根据希尔伯特的数学可信性标准，古典数学的可信性就在于它的协调性。因此，他首创元数学（即证明论），想从而建立古典数学协调性的绝对证明。虽则由
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于K.哥德尔的不完备性定理指明这个计划是不能实现的。但是，他在计划中所创立的元数学方法却有重要的方法论意义。也就是说，希尔伯特企图把有穷主义观点下的构造性与涉及实无穷的“理想元素”在应用上的有效性统一起来，这一愿望虽然不能实现，但是，他所倡导的以有穷主义为特征的构造方法仍然是一种重要的构造性数学研究，并为他的弟子P.贝尔奈斯和其后的G.克赖泽尔所继续和发展。”
而在历史上，众多数学大师的观点也不尽相同。亚里士多德是第一个指出这两种观点区别的人，他支持潜无穷，柯西和高斯也是如此。而希尔伯特和康托尔则是支持实无穷。
实无穷还是潜无穷？这个问题，恐怕很难说清楚。就像物质的波粒二相性，薛定谔的猫是生死叠加态一样，我们在实无穷和潜无穷的争论过程中，获得了很多很多的收获，但是对这一问题的争论至今没有一个确定的结果，恐怕今后一段时期内也不会有什么结果。
至于到底谁对呢？对于我这种实用主义者来说，那就是在谁的地盘儿用谁的东西。等以后某位牛人出现，解决这个问题之后，再说之后的事儿吧……
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