摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。 关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性
引言：
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识：
1.1级数的定义及性质
定义1：给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
称为数项级数。其中称为该数项级数的通项。
数项级数的前n项之和记为：。称为数项级数第n个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列收敛于（即），则称数项级数收敛。
若是发散数列，则称数项级数发散。即：不存在或为。
性质：
（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：，,使得当以及对任意正整数P，都有
推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则。
新加坡一航班折返（2）设有两收敛级数，，则其和与差也收敛，并且。
（注意：对于两个级数与，当两个都收敛时，必收敛；当一个收敛一个发散时，必发散；当两个都发散时，可能收敛也可能发散）
（3）若，是与无关的常数，则也收敛，且。
（4）若级数收敛，在其项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，亦不改变级数的和。
（5）去掉，增加或改变级数的有限个项，并不改变其敛散性。
（6）若两个级数和都收敛，则对任意常数，，级数亦收敛，且： =
1.1.4三个典型级数的敛散性：
（1）等比级数 ，，
当时收敛，时发散
（2）调和级数 是发散的
（3）级数 ，在当时发散；当时收敛
1.2基本概念，基本性质的应用：
例题1、判断的敛散性
解：因为
所以，由级数敛散性定义知：原级数收敛
例题2、考虑级数的敛散性
解： ，
从数列的极限理论易知不存在
所以由级数的敛散性定义知：该级数发散
当级数求和较困难时，常常采用分解，化简其部分和的方法，以求得的极限：srtp
例题3、
分析：本例中分子是等差数列，分子是等比数列，这类问题的一般形式为：
，其中为等差数列，公差为，，
设
则
，且，可得：
而本例中，，，，则：
2.数项级数敛散性判别
2.1正项级数敛散性判别法
定义3：若级数的一般项，则称它为正项级数。
注：正项级数的显著特点是其部分和数列单调增加，所以，若能确定有上界，级数敛散性就确定了。
由此可得出正项级数的收敛准则：
正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数M，对一切正整数，有
因此可将求极限问题转化到估计是否有上界的问题。
1、比式判别法（达朗贝尔判别法）：
设为正项级数，且，
则：(1)当时，级数收敛；
（2）当或时，级数发散；
2、根式判别法：
设正项级数的一般项满足，
当（1）时，级数收敛；
当（2）（或）时，级数发散；阿比丹 艾山
说明：对于比式判别法和根式判别法，若，，则推不出级数的敛散性。
例如：， ，其，但发散而收敛。
例题4、研究级数的敛散性。
解：记，当（）时，
有（）
而当（）时，有（）
从而
由根式判别法知此级数收敛。
以上是用根式判别法解答的，若用比式法，注意到，，从而不能判断该级数是否收敛。
例题5、设（），若，证明：。
证明： 记（）
则：
又，
不难证明：，，
从而：。
由例4和例5可以看出：凡能用比式法判别敛散性的级数，一定可以用根式法判别其敛散性，而反之则不一定。
一般来说，当两者均适用的时候，比式判别法往往比根式判别法更为方便，也是最易使用的方法。而根式判别法一般在通项中含因式的次方时才使用。但它们的共同缺点是：当极限为1时这两种判别法就失效了，这时为了判定级数收敛，就需要另辟蹊径。我们可以利用下面的比较原则：
3、比较原则：，都是正项级数，若存在某正数N，对一切
有，
则：（1）若级数收敛，则级数收敛；
（2）若级数发散，则级数发散。
推论1，（比较原则的极限形式）：若，则：
（1）时，级数与同时收敛或发散；
（2）时，若收敛，则收敛；
四川师范大学学报（3）时，若拉美陷阱发散，则发散。
比较原则需要出一个已知敛散性的级数（常用等比级数或级数）与之比较。
例题6：应用比较原则判别的敛散性。
解：因为时，而正项级数2012北京高考作文发散， 所以原级数发散。
推论2，若存在，使得当时，有，则：
（1）若级数收敛，则级数也收敛；
（2）若级数发散，则级数也发散。
证明：若收敛，
由题意知：当时，有，
即：
故：，
而是常数，所以，由比式判别法知正项级数亦收敛；
若正项级数发散，同理也可证级数亦发散。
注：一般判别正项级数敛散性的条件都是充分条件，但不一定是必要条件。
如，对于正项级数，若，级数一定收敛。反之则不一定成立。
例如，对于，是一个收敛的正项级数，但是有两种情形：
；，
所以，不存在。
注意：正项级数敛散性的判别有以上几种方法，通常按照下列步骤进行选择：
（1）考察的值：若，由级数收敛的必要条件知，级数发散；
（2）若=0，级数敛散性不确定，用比式判别法或根式判别法。若，级数收敛；若（或）级数发散；
（3）若，级数敛散性不确定，此时再用比较判别法，可出一个已知敛散性的级数与之比较。
当然，对于一些具体问题要根据其特点具体分析。
2.2交错级数敛散性判别法
定义4：若级数的各项符号正负相间，即：（则称该级数为交错级数。
莱布尼茨判别法：若 ①数列单调递减；② =0，则交错级数收敛。
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