2020年高考——数列
1.(20全国Ⅰ理17)（12分）
设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；
（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．
2.（20全国Ⅲ文17）（12分）
设等比数列{a n }满足124a a +=，138a a -=． （1）求{a n }的通项公式； （2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．
3.（20全国Ⅲ理17）（12分）
设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．
（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．
4.（20新高考Ⅰ18）（12分）
已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．
5.(20天津19)（本小题满分15分）
已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：(
)2
*
21n n n S S S n ++<∈N
；
（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2
11
32,,,.n n
n n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪
⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．
6.(20浙江20)（本题满分15分）
已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足111112
1,,,n
n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=
∈*N ． （Ⅰ）若{b n }为等比数列，公比0q >，且1236b b b +=，求q 的值及数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）若{b n }为等差数列，公差0d >，证明：*1231
1,n c c c c n d
++++<+
薛定谔猫态
∈N ．
7.（20江苏20）（本小题满分16分）
已知数列{}()n a n ∈*
N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数
n ，均有1
1
111k k k n n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ～k ”数列．
（1）若等差数列{}n a 是“λ～1”数列，求λ的值； （2）若数列{}n a
”数列，且0n a >，求数列{}n a 的通项公式； （3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ～3”数列，且0n a ≥？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．
8.(20北京21)（本小题15分） 已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质： ①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2
i m j
a a a =；
血友吧
②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2k
n l
a a a =．
（Ⅰ）若(1,2,
)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若1
雅虎天盾2(1,2,
)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列。
参考答案：
1．解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1232,a a a =+ 即2
普朗克常数1112a a q a q =+.
所以2
20,q q +-= 解得1q =（舍去），2q =-. 故{}n a 的公比为2-.
（2）设n S 为{}n na 的前n 项和.由（1）及题设可得，1
(2)n n a -=-.所以
112(2)(2)n n S n -=+⨯-+乙炔黑
+⨯-，
21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-+
+-⨯-+⨯-.
可得2
131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-+
+--⨯-
1(2)=(2).3n n n ---⨯-
所以1(31)(2)99
n
隐面人n n S +-=-
.
2．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则11n n a a q -=.由已知得
112
11
48a a q a q a +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得11,3a q ==.
所以{}n a 的通项公式为1=3n n a -. （2）由（1）知3log 1.n a n =- 故(1)
.2
n n n S -=
由13m m m S S S +++=得(1)(1)(3)(2)m m m m m m -++=++，即2560m m --=.
解得1m =-（舍去），6m =.
3．解：（1）235,7,a a == 猜想21,n a n =+ 由已知可得 1(23)3[(21)]n n a n a n +-+=-+， 1(21)3[(21)]n n a n a n --+=--，
……
2153(3)a a -=-.
因为13a =，所以2 1.n a n =+
（2）由（1）得2(21)2n n n a n =+，所以
23325272(21)2n n S n =⨯+⨯+⨯+++⨯. ①
从而
23412325272(21)2n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯.②
-①② 得
23132222222(21)2n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯，
所以1(21)2 2.n n S n +=-+
4．解：（1）设{}n a 的公比为q ．由题设得31120a q a q +=，218a q =．
解得1
2
q =-（舍去），2q =．由题设得12a =．
所以{}n a 的通项公式为2n n a =．
（2）由题设及（1）知10b =，且当122n n m +≤<；时，m b n =． 所以10012345673233636465100()()()()S b b b b b b b b b b b b b =+++++++
+++
++++
+
2345012223242526(10063)=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 480=．
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