专题十五：数轴中动点问题（3）——定值问题
方法点睛
设未知数并表示出动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从未表示出两点间的距离。若计算结果中不再含有未知数，则为定值。 典例精讲
1。如图，在数轴上点A、B、C表示的数分别为﹣2，1，6。
（1）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． （2）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间存在怎样的数量关系？请说明理由．
举一反三
2。如图1，已知数轴上有三点A，B，C．点A，C对应的数分别是﹣40和20，点B是AC 的中点．
（1）请直接写出点B对应的数：________；2012山东高考作文
（2）如图2，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，点P，Q的速度分别为2个单位长度/秒，3个单位长度/秒，点E为线段PQ的中点．设运动的时间为t秒（t＞0）．
①当t为何值时，点B与点E的距离是5个单位长度？
②当点E在点A的右侧时，m▪AE+QC的值不随时间的变化而改变，请求出m的值．
专题过关
3．如图，点A 、B 分别在数轴原点O 的两侧，且12OB +8＝OA ，点A 对应数是20． （1）求B 点所对应的数；
（2）动点P 、Q 、R 分别从B 、O 、A 同时出发，其中P 、Q 均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，4个单位长度/秒，点R 向左运动，速度为5个单位长度/秒，设它们的运动时间为t 秒，当点R 恰好为PQ 的中点时，求t 的值及R 所表示的数；
（3）当t ≤5时，BP +12AQ 的值是否保持不变？若不变，直接写出定值；若变化，试说明理由．
4．如图，已知数轴上有三点A 、B 、C ，若用AB 表示A 、B 两点的距离，AC 表示A 、C 两点的距离，且AB =12AC ，点A 、点C 对应的数是分别是a 、c ，且|a +400|+|c ﹣200|＝0．
（1）求BC 的长；
（2）若点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，2秒后，动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、4单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，点R 运动了多少秒时恰好满足MN +14AQ ＝950；并求出此时R 点所对应的数；
（3）若点E 、D 对应的数分别为﹣800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从点D 运动到点A 的过程中，请研究下列两个代数式的值：
阴阳鱼
①32（P A ﹣QC ）﹣AM ；②32（P A ﹣QC ）+AM ；其中有一个是定值，请你选择出来，并求出这个定值．
【参考答案】
1。解：（1）BC﹣AB的值不变．
设运动时间为t秒，
则BC﹣AB
＝[6+5t﹣（1+2t）]﹣[1+2t﹣（﹣2﹣t）]
＝6+5t﹣1﹣2t﹣1﹣2t﹣2﹣t
＝2，
故BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而改变；
（2）由题意得，AB＝t+3，
BC＝5﹣5t（t≤1时）或BC＝5t﹣5（t＞1时），
AC＝8﹣4t（t≤2时）或AC＝4t﹣8（t＞2时），
苏州阳光健身卡当t≤1时，AB+BC＝（t+3）+（5﹣5t）＝8﹣4t＝AC；
当1＜t≤2时，BC+AC＝（5t﹣5）+（8﹣4t）＝t+3＝AB；
当t＞2时，AB+AC＝（t+3）+（4t﹣8）＝5t﹣5＝BC．
2。解：（1）﹣10
（2）①PB＝AB+AP＝﹣10﹣（﹣40）+2t＝30+2t
PQ＝20﹣（﹣40）+2t﹣3t＝60﹣t，
∵E是PQ的中点，
∴PE=1
2PQ=
1
2（60﹣t）＝30−
1
2t
当E在B的左侧时，
BE＝PB﹣PE＝30+2t﹣（30−1
2
t）=52t
BE=5
2t＝5，
综述论文∴t＝2，
当E在B的右侧时
∴BE＝PE﹣PB＝30−1
2t﹣（30+2t）=−
5
2t
∴BE=−5
2t＝5，
∴t＝﹣2
答：当t ＝2时，点B 与点E 的距离是5个单位长度．
②依题意，得：AE =
−20−5t 2+40＝30−52
t ， QC ＝3t ，
∴mAE +QC ＝m （30−52t ）+3t ＝30m +（−52m +3）t ，
∵mAE +QC 的值不随时间的变化而改变
∴−52m +3＝0，
神经卡压综合征解得：m =65；，
答：当m =65时，mAE +QC 的值不随时间的变化而改变
3。解：（1）∵点A 对应的数是20，
∴OA ＝10，
∵12OB +8＝OA ， ∴OB ＝24．
又∵点B 在原点的左侧，
∴点B 对应的数为﹣24．
（2）当运动时间为t 秒时，点P 对应的数为2t ﹣24，点Q 对应的数为4t ，点R 对应的数为﹣5t +20，
依题意，得：4t +2t ﹣24＝2（﹣5t +20），
解得：t ＝4，
∴﹣5t +20＝0，
即R 所表示的数为0；
当点R 恰好为PQ 的中点时，t ＝4，R 所表示的数为0；
（3）当t ≤5时，BP +12
AQ 的值保持不变；理由如下：
当t ≤5时，BP +12AQ ＝2t +12（20﹣4t ）＝10，
∴当t ≤5时，BP +12AQ 的值保持不变，定值为10．
4。解：（1）∵|a +400|+|c ﹣200|＝0
∴|a +400|＝0，|c ﹣200|＝0
∴a ＝﹣400，c ＝200
∴AC ＝c ﹣a ＝200﹣（﹣400）＝600
∵AB =12AC ，且点B 在线段AC 上
∴点B 为AC 中点
∴BC =12AC ＝300
（2）设点R 运动t 秒时，点R 对应的数为：﹣400+2t ，
大众传媒的影响点P 对应的数为：﹣400﹣10（t +2）＝﹣10t ﹣420，点Q 对应的数为：200﹣4（t +2）＝﹣4t +192
∴AQ ＝|﹣4t +192﹣（﹣400）|＝﹣4t +592|
∵点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点
∴点M 对应的数为：
(−10t−420)+(−400+2t)2=−4t −410，点N 对应的数为：(−400+2t)+(−4t+192)2=−t −104
∴MN ＝|﹣t ﹣104﹣（﹣4t ﹣410）|＝|3t +306|＝3t +306
∵MN +14
AQ ＝950
∴（3t +306）+14|﹣4t +592|＝950
当0≤t ≤148时，﹣4t +592≥0，
∴（3t +306）+14（﹣4t +592）＝950
解得：t ＝248（舍去）
当t ＞148时，﹣4t +592＜0
∴（3t +306）−14（﹣4t +592）＝950
解得：t ＝198
∴﹣400+2t ＝﹣400+396＝﹣4
∴点R 运动198秒时恰好满足MN +14AQ ＝950，此时R 点所对应的数为﹣4．
（3）①32（P A ﹣QC ）﹣AM 的值为定值． 设P 、Q 运动时间为a 秒时，P 对应的数为：﹣800﹣10a ，Q 对应的数为：﹣5a
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