1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）
第1题图
第2题图
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150 ． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1 的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
第3题图
第4题图
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长
线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600
，求证：AH ＝AO ．（初二）
A
N
F
E C
D
M
B D 2
C 2
B 2
A 2
D 1
C 1
B 1
C B
D
A
A 1
A
P
C D
B
A
F
G
C
E
B O D
第1题图
第2题图
2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ．求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：
设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）
第3题图
第4题图
4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，
点P 是EF 的中点．
求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）
经典难题（三）
1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ． 求证：CE ＝CF ．（初二）
P
C
G
F
B
Q A
D
E
· O
Q
P
B
D
E
C N
M
· A
·
G
A O D
B
E
C
Q
P
N
M
·
A
D H
E
M C B
O
第1题图
第2题图
2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．
求证：AE ＝AF ．（初二）
3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ． 求证：PA ＝PF ．（初二）
第3题图
第4题图
4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．
第一课标求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）
经典难题（四）
1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5． 求：∠APB 的度数．（初二）
第1题图
第2题图
2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ．求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）
P
A
D
C
B
A
P
C B
O D B
F A
E
C
P
F
E P
C
B
A
E D
A C
B
F
A
F
三星e728
D
E
C
B
D
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ．（初三）
第3题图
第4题图
4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且
AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）
许远东经典难题（五）
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：
≤L ＜2．
第1题图
第2题图
2、P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．
3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．
第3题图
第4题图
4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800
，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300
， ∠EBA ＝200
，求∠BED 的度数．
E
D
C
B
A
A
C B
Pmoto q8
D
A
C B
P
D
A P
C
B
F
P
D
E C
B
A
C
B
D
A
经典难题（一）
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF 。（初二） 证一：连接OE 。
∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ，
∴O 、G 、E 、F 四点共圆，且OE 为直径。 ∴GF=OE ·sin ∠GOF 。
又△OCD 中，CD=OC ·sin ∠COD 。 ∵∠GOF+∠COD=180°， OC= OE 为⊙O 半径， ∴CD ＝GF 。
证二：连接OE ，过G 作GH ⊥AB 于H 。 ∵EG ⊥CO ，EF ⊥AB ，
∴O 、G 、E 、F 四点共圆，且OE 为直径。 ∴∠GEO=∠HFG 。又∠EGO=∠FHG=Rt ∠， ∴△GEO ∽△HFG 。∴GF:OE=GH:OG 。 又GH ∥CD ，∴GH:CD=OG:OC ， 即GH:OG=CD:OC ，∴GF:OE=CD:OC ， 而OE=OC ，∴CD ＝GF 。
2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150
． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 证明：
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1
的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）
A
P
C D
B
E
A
F
G C
E
B O
D
A
F
G
C瘦素
E
B
O
D
H
4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．
经典难题（二）
1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O 为外心，且OM ⊥BC 于M ． （1）求证：AH ＝2OM ；
（2）若∠BAC ＝600
，求证：AH ＝AO ．（初二）
F
M
H O
A
B
C
D E
M
H O
A
B
C
D
E
F
·
A
D
H
E
烧芭M C B
O
A
N
F E C
D M
B D 2
C 2
B 2
A 2
D 1
C 1
B 1
C B
D
A
A 1
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