强化训练20 圆锥曲线——大题备考
第一次作业
1．[2021·全国乙卷]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2. (1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值． 2．[2021·新高考Ⅱ卷]已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
3.[2021·新高考Ⅰ卷]在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记上网打电话M 的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
4．[2022·新高考Ⅰ卷]已知点A(2，1)在双曲线C：－＝1(a>1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若tan ∠PAQ＝2，求△PAQ的面积．
强化训练20 圆锥曲线
1．解析：（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故p＝2，所以C的方程为
青铜神树y2＝4x.
（2）由（1）知F（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（x2－x1，y2－y1），＝（1－x2，－y2），
因为＝9 ，所以，
可得，2010冷笑话
又点P在抛物线C上，所以y＝4x1，即（10y2）2＝4（10x2－9），化简得y＝x2－，则点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，易知当直线OQ与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝（－）2－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ斜率的最大值为.
2．解析：（1）由题意，椭圆半焦距c＝且e＝＝，所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1；
（2）由（1）得，曲线为x2＋y2＝1（x>0），
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不合题意； 当直线MN的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2），
必要性：若M，N，F三点共线，可设直线MN：y＝k（x－）即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1（x>0）相切可得＝1，解得k＝±1，热波
联立可得4x2－6x＋3＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b，（kb<0）即kx－y＋b＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1（x>0）相切可得＝1，所以b2＝k2＋1，
联立可得（1＋3k2）x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝·＝·＝，
化简得3（k2－1）2＝0，所以k湖南大学综合管理系统＝±1，
所以或，所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F（，0），M，N，F三点共线，充分性成立；
所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
3．解析：（1）因为－＝2<＝2，
所以，轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹C的方程为－＝1，则2a＝2，可得a＝1，b＝＝4，
所以，轨迹C的方程为x2－＝1家有学子.
（2）设点T，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，
不妨设直线AB的方程为y－t＝k1，即y＝k1x＋t－k1，
联立，消去y并整理可得x2＋k1x＋2＋16＝0，
设点A，B，则x1>且x2>.
由韦达定理可得x1＋x2＝，
x1x2＝，
所以，·＝··＝·＝，
设直线PQ的斜率为k2，
同理可得·＝，
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