数学
七年级上册
第一章有理数
（一）正数和负数
1.像3,2,1.8%这样大于0的数叫正数。像-3，-2，-
2.7%这样在正数前面加上负号“—”的数叫负数。根据需要，有时在正数前面加上“+”（正）号。
2.数0既不是正数，也不是负数。把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量。0是正数与负数的分界。0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已不仅是表示“没有”。蛋白gg
3.中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红算筹表示正数，黑算筹表示负数。
4.在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。
（二）有理数
1.所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合。
2.正整数、0、负整数统称整数。
3.整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
4.分数可以看成两个整数的比的数。例如，分数2∕3是2与3的比；整数5可以看作分母为1的分数5∕1。
（三）数轴
1.一般地，在数学中，人们用画图的方式把数“直观化”。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足一下要求： （1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
（2）通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…
分数或小数也可以用数轴的点表示，例如从原点向右 6.5个单位长度的点表示小数6.5，从原点向左3∕2个单位长度的点表示分数-3∕2。
归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是一个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是一个单位长度。
（四）相反数
1.一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表示-a和a，我们说这两点关于原点对称。
·······＞2.像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。这就是说，2的相反数是-2，-2的相反数2；5的相反数是-5，-5的相反数是5。
3.一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数仍是0。
4.容易看出，在正数前面添上“―”号，就得到这个正数的相反数。在任意一个数前面添上“―”号，新的数就表示原数的相反数。例如，—（+5）=―5，—（—5）=+5，—0=0。（五）绝对值
1.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作[a]。（这里的数a可以是正数、负数和0）
2.由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
（1)当a是正数时,[q]=a;(a>0)
(2)当a是负数时,[a]=-a;(a<0)
(3)当a=0时,[a]=a.
3.任意两个有理数比较大小。数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
由这个规定可知：-6<-5,-5<-4,-4<-3,-2<0,-1<1,…
(1)正数大于0,0大于负数，正数大于负数;
(2)两个负数，绝对值大的反而小。
例如,1>0,0>-1,1>-1,-1>-2。
4.异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的。（六）有理数的加减法
1.利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结果：
（1）先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向左运动了2 m；
（2）先向右运动5m，再向左运动5m，物体从起点向原地不动运动了0 m；
（3）先向左运动5m，再向右运动5m，物体从起点向运动了0 m。
考虑有理数的运算结果时，既要考虑它的符号，又要考虑它的。 2.有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；
（3）一个数同0相加，仍得这个数。
先定符号，再算绝对值
3.有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。
加法交换律：a+b=b+a
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
加数结合律：（a+b)+c=a+(b+c)
（七）有理数的减法
1.有理数的减法可以转化为加法来进行。
2.有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)
3.归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。a+b-c=a+b+（-c)
(八）有理数的乘除法
1.有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同0相乘，都得0,。
2.有理数相乘，先确定积的，再确定积的。
3.有理数中仍然有，乘积是1的两个数互为倒数。
4.几个不是0的数相乘，负因素的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。
5.一般地，有理数乘数中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。
乘法交换律：ab= ba 。
6.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相乘。
乘法结合律：（ab)c= a(bc) 。
7.一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。
分配律：a(b+c)=ab+ac
注：a×b也可以写为a·b或ab。当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略。
（九）有理数的除法
1.有理数的除法法则:
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。这个法则也可以表示：a÷b=a·1/b(b不等于0）。
2.从有理数除法法则，容易得出：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。
注：分数可以理解为分子除以分母
3.因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。
4.有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。
（十）有理数的乘方
1.5有理数的乘方
1.5.1乘方
边长为a的正方形的面积是a·a，棱长为a的正方形的体积是a·a·a.
a·a简记作a2，读作a的平方（或二次方）；
a·a·a简记作a3，读作a的立方（或三次方）。
一、一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a……·a，记作a n，读作a的n次方。
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在a n中，a叫做底数，n叫做指数，当a n看做a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。轻芳烃
二、一个数可以看做这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常省略不写。
因为a n就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。
三、根据有理数的乘方法则可以得出：
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
2.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。
四、做有理数的混合运算时，应注意一下运算顺序：
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。
1.5.2科学记数法
人民日报评知网事件一、一般地，10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用10的乘方表示一些大数，例如567 000 000=5.67×108，读作5.67乘10的8次方（幂）。这样不仅书写简单，而且便于读数。
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学记数法。
注意：科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1.
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1.5.3近似数
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率π约为3.14，这些数都是近似数。
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。例如，前面的五百世精确到百位的近
似数，它与准确数513的误差是13.
从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。
第一章小结
加法
1.知识结构图：
有理数有理数的运算
第二章整式的加减
2.1整式乘
式子100t，6a2，a3，2.5x,vt,-n，它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，单项式100t，Vt,-n的系数分别是100,1,1，-1.单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，在单项式100t中，字母t的指数是1,100t是一次单项式；在单项式Vt中，字母v与t的指数的和是2，vt 是二次单项式。
像这样，几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如，自多项式2x-3中，2x和-3是它的项，其中-3是常数项；在多项式x2+2x+18中，它的项分别是x2,2x和18，其中18是常数项。
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多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式2x-3中次数最高的项是一次项2x，这个多项式的次数是1；多项式x2+2x+18中次数最高的项是二次项x2，这个多项式的次数是2。
单项式与多项式统称整式。例如，上面见到的单项式100t,6a2,vt,-n，以及多项式2x-3,3x+5y+2Z等都是等式。
2.2整式的加减
(1）100t-252t=（）t;
(2) 3x2+2x2=()x2;
(3) 3ab2-4ab2=()ab2.
对于上面的（1）（2）（3），利用分配律可得：
100t-252t=(100-252)t=-152t,
3x2+2x2=(3+2)x2=5x2,
3ab2-4ab2=(3-4)ab2=-ab2.
观察（1）中的多项式的项100t和-252t，他们含有相同字母t，并且t的指数都是1；（2）中的多项式的项3x2和2x2，它们含有相同的字母x，并且x的指数都是2；（3)中的多项式的项3ab2与-4ab2，他们都含有字母a,b，并且a都是一次，b都是二次。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。例如，、
4x2+2x+7+3x-8x2-2
=4x2-8x2+2x+3x+7-2 (交换律）
=(4x2-8x2)+(2x+3x)+7-2 (结合律）
=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2) （分配律）
=-4x2+5x+5
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前
各同类项的系数的和，且字母部分不变。
注意：分配律的使用：
100t-252t
=[100+(-252)]t
=(100-252)t
注意：通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂)或者从小到大（升幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5也可以写成5+5x-4x2。
去括号规律：
+120（t-0.5)=+120t-60
-120 (t-0.5)=-120t+60
通过以上两式，可知：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。
特别的，+（x-3)与-（x-3）可以分别看作1与-1分别乘（x-3）。利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得
+（x-3)=x-3,
-(x-3)=-x+3.这也符合以上发现的去括号规律。
通过学习，我们可以得到整式加减的运算法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。
第二章小结
1.知识结构图
用字母表示数
单项式
列式表示数量关系整式合并同类项去括号整式加减运算
多项式
2.回顾与思考
（1）整式中的字母表示数，可以简明地表达实际问题中的数量关系，它比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便；
（2）整式运算建立在数的运算基础之上，数的运算是整式运算的特殊情况；
（3）举例说明什么是单项式、多项式；
（4）合并同类项和去括号是整式加减的基础；
（5）举例说明整式加减的运算法则。
第三章一元一次方程
基尔霍夫定律教案3.1从算式到方程
一、通常用x，y,z等字母表示未知数，法国数学家笛卡尔是最早这样做的人。我国古代用“天元、地元、人元、物元“等表示未知数。
二、用算是方法解题时，列出的算式表示用算数方程解题的解题的计算方程，其中只能用已知数；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数。
三、列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程。
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