本科毕业论文（设计）
文献综述
学 院：数学与统计学院
专 业：数学与应用数学
班 级： 2012级1 班
学 号： **********
**** 周 波
**** 吴 奎 霖
2016年5月25日
《泰勒公式的展开及其应用》文献综述报告
摘 要
前言：
早期自然科学家们进行科学研究计算时，为了简化问题，总是将问题近似地的看作线性问题进行讨论研究。直至Taylor展开思想的提出：利用次多项式来逼近函数,而多项式具有形式简单，易于计算等优点。我们已经知道，在函数的运算中，多项式函数只用到加、减、乘三种简单的运算，把一个复杂的函数近似地用多项式表示出来，并能使误差达到预期的要求。这大大降低了理论研究的误差，另外在高等数学方面，Taylor公式可以将给定函数用多项式和表示出来，这种化繁琐为简单的作用使得Taylor公式成为高等数学的核心内容之一。本文将在前人的理论基础上进行应用探讨，所涉及的内容不仅有经常用到的还有一部分是我们不常见的Taylor公式的应用，本文最大的特点是让Taylor公式零散的应用系统化，进而加深大家对Taylor公式的认识和理解。 关键词：泰勒公式；余项；展开式
一、正文：
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor），于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）
出任英国皇家学会秘书，四年后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程.最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于1712年7月给其老师梅钦（数学家、天文学家）信中首先提出的这个定理——泰勒定理：式子内v为独立变量的增量，及为流数.他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成.
随着近代微积分的蓬勃发以及函数的极限的重要地位，促使几乎所有大数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒、费马、巴罗、沃利斯等人作出了具有代表性的工作，于是泰勒公式应运而生了。本论文通过引入数学分析中的知识点Taylor展开的思想，采取举例分析的方法，对Taylor公式展开的特性及高等数学各个方面的应用进行了分析讨论(利用Taylor公式求极限、计算近似值、证明不等式、求曲线的渐近线方程、计算留数、判断级数的收敛和发散性、作导数的中值估计、计算极值)
展开式：
泰勒公式可以用（无限或者有限）若干项连加是（级数）来表示一个函数，这些相加项由函数在某一点（或者加上在临近的一个点的n+1次导数）的导数求得。
对于正整数建设部干部学院，若函数在[]内为存在阶的连续导数，且在其上有导数。 则在其上一定点，对于任意，成立。
其中是余项，是的高阶无穷小量。
余项：
泰勒公式的余项有以下几种不同的形式：
1、Peano余项
2、Lagrange余项
中俄边境3、积分余项
4、柯西（Cauchy）余项
对Lagrange余进行变换，若把看作一个函数，使用积分第一中值定理进行计算，则有:
5、施勒米尔希·罗什（Schlomilch-Roche）余项
其中，任意实数，且当时对应Lagrange余项时对应柯西余项。
Maclaurin展开：
当托尔斯泰的故事时，上面的泰勒公式转化为
,
我们将此式为Maclaurin公式。
二、文献介绍
前面一部分简单介绍了本论文写作背景和泰勒公式相关的基本概念。现在中西方的不少著作都对泰勒公式的余项和应用进行介绍的，下面就对我所翻阅的有关泰勒公式的文献进行一下简单的介绍。
卢荣友
文献[1]全面介绍了泰勒公式的展开。书中首先以函数在一阶处展开为例，引出完整的泰勒展开式，此外还介绍了Peano余项及其证明过程。
文献[2]简单的介绍了一些基本函数的泰勒展开，并利用无穷级数的除法及变量代换求导积分的方式，推导出了更多函数的泰勒展开如等等。
文献[3]给出诸多泰勒余项，如积分余项、柯西余项等等，并对其余项条件及证明进行了说明。
文献[4]利用比较法，推导出了泰勒公式不论通过什么途径、使用何种方式得到的展开式，只要余项满足 则此展开式的系数一定是相同的，可以直接使用进行计算。
文献[5] 分别对使用L’Hospital法则来进行求解极限和泰勒公式求极限进行了分析说明。
文献[6]中收录了大量与泰勒展开相关的例题及证明方法，其中有许多经典的例题，本论文中不等式的证明及中值估计的例题多参照此文献。
总的来说，这些文献中既有对泰勒公式基本知识的论述，如文献[1]，[2]，[3]，也有对泰勒公式更深入一步的研究，如文献[4]。此外文献[7]，[8]，[9]，[10]分别对泰勒公式在各个方面的应用进行了研究，如应用泰勒公式在《数值计算》中推导牛顿迭代法和欧拉法；泰勒公式在《复变函数》中的推广，以及泰勒展开在复数中与实数中的异同等等。
三、总结
总所周知，泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要的作用，它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断级数和广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，也是研究数学各个领域的不可或缺的工具。但是，虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，却同样也还有很多方面很少被提及，需要不断的探索。而泰勒公式在数学实际应用中又是一种非常重要的应用工具，只有掌握了这些知识，并且在此基础上加强训练、不断地进行总结，才能熟练的应用它，灵活的从不同角度出解题的途径，探索新的解题方法，以便更好更方便的研究一些复杂的函数，解决更多的实际问题。
四、参考文献：
[1]陈纪修,於崇华,金路,数学分析(人孔上册)[M],北京:高等教育出版社,河南300万人死亡2004.192~193
[2]张自兰,崔福荫,高等数学证题方法[M],陕西:陕西科学出版,1985.
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