全册综合检测
A卷——基本知能盘查卷
(时间：120分钟 满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列数中，是数列{n(n＋1)}中的一项的是( )
A．380 B．29 C．32 D．23
解析：选A 令380＝n二十年后的学校(n＋1)，即n2＋n－380＝0，
解得n＝19或n＝－20(舍去)，
所以380是{n(n＋1)}的第19项．
同理，可检验B、C、D不是该数列中的项．
2．曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为( ) A．(1－e)x－y＋1＝0 B．(1－e)x－y－1＝0
C．(e－1)x－y＋1＝0 D．(e－1)x－y－1＝0
解析：选C 由于y′＝e－，所以y′x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.
3．已知等比数列{an}的公比为－2，且Sn为其前n项和，则等于( )
A．－5 B．－3 C．5 D．3
解析：选C 由题意可得，＝＝1＋(－2)2＝5.
4．若函数f(x)＝aex－sin x在x＝0处有极值，则a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．e
解析：选C f′(x)＝aex－cos x，
若函数f(x)＝aex－sin x在x＝0处有极值，
则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，
经检验a＝1符合题意，故选C.
5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
解析：选D 由函数y＝f(x)的图象知，当x<0时，f(x)单调递减；当x>0时，f(x)先递增，再递减，最后再递增，分析知y＝f′(x)的图象可能为D.
6．在等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )
A．16 B．27
C．36 D．81
解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，
由已知得即
∴q2＝9.∵an>0，∴q＝3，∴a4＋a5＝q(a3＋a4)＝3×9＝27.故选B.
7．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不单调，则f(木质素结构x)在R上的极小值为( )
A．2b－ B．b－
C．0 D．b2－b3
解析：选A 由题意，得f′(x)＝(x－b)(x－2)．
因为f(x)在区间[－3,1]上不单调，所以－3<b<1.
由f′(x)>0，得x>2或x<b；
由f′(x)<0，得b<x<2，
所以f(x)的极小值为f(2)＝2b－.故选A.
8．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成(如图)，当容器的体积最大时，该容器的高为( ) A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．12 cm
解析：选C 设容器的高为x cm，容器的体积为V(x) cm3，则容器的长为(90－2x) cm，宽为(48－2x) cm，所以容器的体积V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276mlax2＋4 320x(0＜x＜24)，V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)．
由花儿为什么这样红教案V′(x)＞0，得0＜x＜10；
由V′(x)＜0，得10＜x＜24，
所以V(x)在(0,10)上单调递增，在(10,24)上单调递减，故容器的体积V(x)最大时，该容器的高为10 cm.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．已知首项为正数，公差不为0的等差数列{an}，其前n项和为Sn，则下列命题中正确的是( )
A．若S10＝0，则S2＋S8＝0
B．若S4＝S12，则使Sn＞0的n的最大值为15
C．若S15＞0，S16＜0，则{Sn}中S8最大
D．若S7＜S8，则S8＜S9
解析：选BC 对于A，若S10＝0，则S10＝＝0，则a1＋a10＝0，即2a1＋9d＝0，则S2＋S8＝(2a1＋d)＋(8a1＋28d)＝10a1＋29d≠0，A不正确；
对于B，若S4＝S12，则S12－S4＝0，即a5＋a6＋…＋a11＋a12＝4(a8＋a9)＝0，由于a1＞0，则a8＞0，a9＜0，则有S15＝＝15a8＞0，S16＝＝＝0，故使Sn＞0的n的最大值为15，B正确；
对于C，若S15＞0，S16＜0，则S15＝＝15a8＞0，S16＝＝＜0，则有a8＞0，a9＜0，则{Sn}中S8最大，C正确；
对于D，若S7＜S8，即a8＝S8－S7＞0，而S9－S8＝a9，不能确定其符号，D错误．故选B、C. 10．设函数f(x)＝＋ln x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝2为f(x)的极小值点
C．f(x)的最大值为1＋ln 2
D．f(x)的最小值为1＋ln 2
解析：选BD ∵f(x)＝＋ln x，
∴f′(x)＝－＋＝(x＞0)，
由f′(x)＝0得x＝2.
当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数；
当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，
∴x＝2为f(x)的极小值点，f(x)无极大值点，
且f(x)的极小值也是最小值，为1＋ln 2，无最大值．
故选B、D.
11．已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn.若对任意的n∈N*，都有Sn≥S3，则的值可能为( )
A．2 B． C. D．
解析：选ABC 设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∵数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，对任意的n∈N*，都有Sn≥S3，
∴∴
∴－3d≤a1≤－2d(d＞0)，
∴代入选项知，当＝＝2时，a1＝－3d成立；
当＝＝时，a1＝－d成立；当＝＝时，a1＝－2d成立；当＝＝时，a1＝－d不成立．故选A、B、C.
12．已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )
A．f电影魔方2003(x)＝x2 B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝tan x
解析：选AC 对于A，若f(x)＝x2，则f′(x)＝2x.令x2＝2x，得x＝0或x＝2，这个方程显然有解，故A符合要求；对于B，若f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x，即e－x＝－e－x，此方程无解，B不符合要求；对于C，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝.若ln x＝，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C符合要求；对于D，若f(x)＝tan x，则f′(x)＝′＝.令f(x)＝f′(x产品附加值)，可得
sin xcos x＝1，即sin 2x＝2，无解，D不符合要求．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.
解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．
故数列的通项公式为an＝
答案：
14．函数f(x)＝x－aln x(a>0)的极小值为________．
解析：因为f(x)＝x－aln x(a>0)，
所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－(a>0)．
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