模拟退火算法是一种通用的随机搜索算法，是局部搜索算法的扩展。它的思想是再1953年由metropolis提出来的，到1983年由kirkpatrick等人成功地应用在组合优化问题中。
模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表(Cooling Schedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。 模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：
第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置
换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
第三步是判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropo1is准则: 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解S。
第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l 收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
模拟退火算法的步骤：
(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)， 每个T值的迭代次数L
(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：
(3) 产生新解S′
(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数
(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.
(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。 终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
[转]退火算法解非线性方程组Matlab程序
专业交流 2007-06-20 17:47 阅读512 评论0 字号： 大大 中中 小小 clear,clc
%这是退火算法的主程序，它需要调用的函数是
%函数(1)nonLinearSumError1：计算非线性方程组总误差的函数
%函数(2)newSolver1：在一组解的邻域产生另一组解
%函数(3)isSolution：验证方程是否得解
%设置初始值
i=0;T=10001;j=0;%i：同一温度下状态转移次数;T：温度；j：下降温度
precision=0.1;
x1Group=1;%x1Group：可能解的组数龙门山大断裂
x1N=4;%非线性方程组的元数
x1=round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*20);%随机生成-10~10之间的初解
errorHold=Inf;
贫富差距xHold=0;
%x1=[-7 5 1 -3];
i=0;
while i<200
i=i+1;
j=0;
T=T-50;%退火
while j<200
j=j+1;
functionError1=nonLinearSumError1(x1);%计算x1的误差
x2=newSolver1(x1,functionError1,-10,1,10);%在x1的邻域生成新一组解x2
functionError2=nonLinearSumError1(x2);%计算x2的误差
%检查方程是否得解
[solution1,minError1,isTrue1]=isSolution(x1,functionError1,precision);
[solution2,minError2,isTrue2]=isSolution(x2,functionError2,precision);
if isTrue1==1
'方程得解'
functionError1
solutiourn
i,j
return
elseif isTrue2==1
'方程得解'
拉格朗日solution2
functionError2
i,j
return
end
%x1
%x2
if functionError2-functionError1<0
x1=x2;%x2比x1好，用x2取代x1
elseif errorHold-functionError2<0
%x1=xHold;
else
p_x2x1=exp(-log(functionError2-functionError1)/T);
%状态转移概率，注意：误差取对数，因为要解的非线性方程组比较复杂，
%可能解的一点偏差会引起方程很大的变化。所以通过取对数缩小差距。
if rand(1)<p_x2x1 %状态转移
xHold=x1;%hHold：把比较好的解保留下来
errorHold=functionError1;%比较好的解对应的误差
x1=x2;
end
end
end
end
solution1
企业国有产权转让管理暂行办法functionError1
solution2
functionError2
函数(1)：计算待解方程的绝对总误差
function funtionError=nonLinearSumError1(X)%方程的解是-7,5,1,-3
funtionError=...
[
abs(X(:,1).^2-sin(X(:,2).^3)+X(:,3).^2-exp(X(:,4))-50.566253390821)+...
abs(X(:,1).^3+X(:,2).^2-X(:,4).^2+327)+...
abs(cos(X(:,1).^4)+X(:,2).^4-X(:,3).^3-624.679868769613)+...
abs(X(:,1).^4-X(:,2).^3+2.^X(:,3)-X(:,4).^4-2197)
]
;
函数(2)：在x1的领域产生一
组新的解
%newSolver1根据x1的误差给出一个新的可能解x
function x2=newSolver1(x1,x1Error,leftBound,distance,rightBound)
%parameter=[leftBound,distance,rightBound]
%leftBound：解空间的左边界，distance：可能解的间隔，rightBound：解空间的右边界
%解空间是指在一个坐标轴上解的左右边界和解之间的间隔
[x1Group,x1N]=size(x1);
%x1Group:x1的行数，x1N：方程的元数
%round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*2)
if x1Error<=30%在解空间上移动1格
x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*2)*distance;
k=x2<leftBound;%防止新解越过左边界
x2(:,k)=leftBound;
k=x2>rightBound;%防止新解越过右边界
x2(:,k)=rightBound;
elseif x1Error>30 && x1Error<=100%在解空间上移动3格以下
x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*6)*distance;
k=x2<leftBound;
x2(:,k)=leftBound;
k=x2>rightBound;
x2(:,k)=rightBound;
elseif x1Error>100 && x1Error<=1000%在解空间上移动9格以下
等效阻抗x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*20)*distance;
k=x2<leftBound;
x2(:,k)=leftBound;
k=x2>rightBound;
x2(:,k)=rightBound;
elseif x1Error>1000 && x1Error<=10000%在解空间上移动20格以下
x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*40)*distance;
k=x2<leftBound;
x2(:,k)=leftBound;
k=x2>rightBound;
x2(:,k)=rightBound;
elseif x1Error>10000%在解空间上移动30格以下
x2=x1+round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*60)*distance;
k=x2<leftBound;
x2(:,k)=leftBound;
k=x2>rightBound;
x2(:,k)=rightBound;
end
if x1==x2
x2=round((-0.5+rand(x1Group,x1N))*20);
蹦床网面
end
函数(3)：
%判断方程是否解开
function [solution,minError,isTrue]=isSolution(x,functionError,precision)
[minError,xi]=min(functionError);%到最小误差，最小误差所对应的行号
solution=x(xi,:);
if minError<precision
isTrue=1;
else
isTrue=0;
end
end
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