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09第9讲第六章-方差分析第一节-方差分析的基本原理与步骤

第九讲

授课日期:　2009年月日节课

授课题目：第六章方差分析6.1方差分析的基本原理与步骤

教学目的：了解方差分析的概念和作用；掌握方差分析的基本原理和步骤。

教学重点：试验总变异剖分原理、F测验。

教学难点：方差分析的基本原理

教学进程

教学方

法及时

间分配

多媒体授课

讲授

复习提问：

1.单个总体率假设检验的方法步骤？

2.两个总体率假设检验的方法步骤？

导言：我们在研究中，经常遇到的是多个样本之间进行比较，这个时候再用假设检验的方法就显得麻烦，比较的精度也差了，用什么方法？方差分析。

新课内容:

第六章方差分析

对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用u测验或t测验来测定它们之间的差异显著性。而当试验的样本数k≥3时，上述方法已不敷应用。其原因是当k≥3时，就要进行k（k-1）/2次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。因此，对多个样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法，即方差分析法。方差分析法是科学研究工作的一个十分重要的工具。

第一节方差分析的基本原理与步骤

方差分析（analysis of variance，ANOVA）就是将试验数据的总变异分解为来源于不同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度；即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因比较的标准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。

一、自由度与平方和分解

方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。下面以单因素完全随机试验设计的资料为例说起。

假设有k个处理，每个处理有n个观察值，则该试验资料共有nk个观察值。

例题1 考察温度对某药得率的影响，选取5种温度，不同温度下各做4次试验，结果如表1，试问温度对该药的得率有无显著影响？

表1 某药在不同温度下的得率

温度（℃）	60	65	70	75	80
得率（%）	86	80	83	76	96
	89	83	90	71	93
	91	88	94	81	95
	90	84	85	84	94
总和（%）Ti	356	335	352	323	378	T=1744
平均（%）	89	83.75	88	80.75	94.5	=87.2

首先，对该表格的数据进行分析:

试验总变异：试验有多少个观察值？有几个处理（样本）？回答5个，用k表示，k=5。每个样本有几个观察值？用n表示，n=4，试验共有几个观察值？kn个观察值。

那么变异用什么表示？用方差表示，而方差是平方和除以自由度的商。

要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第一步骤。下面以上面的单因素完全随机试验设计的资料为例说起。

表1中，总变异是20（nk）个观测值的变异，故其自由度=nk-1=20-1=19，而其平方和SST则为：

上式中的C称为矫正数：

产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。因此，总变异可分解为组间变异和组内变异两部分。

组间的差异即k个的变异，故自由度，而其平方和SSt为：

组内的变异为各组内观测值与组平均数的变异，故每组具有自由度刘天华简介和平方和，而资料共有k组，故组内自由度，，而组内平方和SSe为：

因此，得到表1类型资料平方和与自由度的分解式为：

总平方和=组间(处理间)平方和＋组内(误差)平方和

记作：

总自由度=组间(处理间)自由度＋组内(误差)自由度

即：

记作： DFT=DFt＋DFe

将以上公式归纳如下：

总平方和总自由度

处理平方和处理自由度

误差平方和误差自由度

求得各变异来源的平方和与自由度后，进而求得：

总的方差

处理间方差

误差方差

根据以上分析，将表1中的数据代入公式中，进一步计算得到：

总变异平方和：

SST==152680-152076.8=603.2

组间变异平方和:

SSt=

SSe=SST-SSt=603.2-442.7=160.5

进而计算各部分方差：

二、F分布与F检验

1．F分布图书馆论坛

设想在一正态总体N（μ，σ2）中随机抽取样本含量为n的样本k个，将各样本观测值整理成表6-1的形式。此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，由上式算出的和都是误差方差的估计量。以为分母，为分子，求其比值。统计学上把两个方差之比值称为F值。

即

F具有两个自由度：。

F值所具有的概率分布称为F分布。F分布密度曲线是随自由度df1、df2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着df1、df2的增大逐渐趋于对称，如下图所示。

F分布的取值范围是（0，+∞），其平均值=1。

用表示F分布的概率密度函数，则其分布函数为：

因而F分布右尾从到+∞的概率为：

附表F值表列出的是不同和下，P(F≥)=0.05和P(F≥)=0.01时的F值，即右尾概率α=0.05和α=0.01时的临界F值，一般记作F0.05，F0.01。如查F值表，当v1=3，v2=18时，F0.05=3.16，F0.01=5.09，表示如以v1=dft=3，v2=dfe=18在同一正态总体中连续抽样，则所得F值大于3.16的仅为5%，而大于r2v怎么用5.09的仅为1%。

2．F测验

F值表是专门为检验代表的总体方差是否比代表的总体方差大而设计的。若实际计算的F值大于，则F值在α=0.05的水平上显著，我们以95%的可靠性(即冒5%的风险)推断代表的总体方差大于代表的总体方差。这种用F值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为F测验。

在方差分析中所进行的F测验目的在于推断处理间的差异是否存在，检验某项变异因素的效应方差是否为零。因此，在计算F值时总是以被测验因素的方差作分子，以误差方差作分母。应当注意，分母项的正确选择是由方差分析的模型和各项变异原因的期望均方决定的。

实际进行F测验时，是将由试验资料所算得的F值与根据(大均方，即分子均方的自由度)、(小均方，即分母均方的自由度)查附表F值表所得的临界F值F0.05，F0.01相比较作出统计推断的。

若F＜F0.05，即P＞0.05，不能否定，统计学上，把这一测验结果表述为：各处理间差异不显著，不标记符号；若F0.05≤F＜F0.01，即0.01＜P≤0.05，否定，接受，统计学上，把这一测验结果表述为：各处理间差异显著，在F值的右上方标记“*”；若F≥F0.01，即P≤0.01，否定H0，接受HA，统计学上，把这一测验结果表述为：各处理间差异极显著，在F值的右上方标记“**”。

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盛泽疫情对于[例6.1]，因为F==25.32/1.43=17.71；根据=dft=4，=dfe=15查附表F值表，得F＞F0.01 =4.89，P＜0.01，表明越南全民皆兵5个不同大豆品种对产量的影响达到极显著差异。

在方差分析中，通常将变异来源、平方和、自由度、均方和F值归纳成一张方差分析表，见表6-3。

表2 表1资料方差分析表

变异来源	平方和	自由度	方差	F值	F0.05	F0.01
组间	442.7	4	110.68	10.34**	3.04	4.89
组内	160.5	15	10.7
总变异	603.28	19

表中的F值应与相应的被测验因素齐行。因为经F测验差异极显著，故在F值10.34右上方标记“**”。

在实际进行方差分析时，只须计算出各项平方和与自由度，各项均方的计算及F检验可在方差分析表上进行。

授课内容总结

主要讲授方差分析的基本原理：自由度与平方和的分解、F检验。

复习思考题：

练习方差分析的步骤。

本次课小结：

重点讲授

平方和的分解、自由度的分解、F分布与F检验。

课后总结：

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