摘要：求解单元刚度矩阵是有限元求解问题的必要的过程，通常采用虚位移原理或是最小势能原理进行求解。本文将以一维的拉（压）杆为例采用求解微分方程的方法推导其单元刚度矩阵。根据其原理也可推广到其他形式单元中求解单元刚度矩阵。 Abstract: It’s necessary process for the finite element solution to solve the element stiffness matrix, which is solved by the principle of virtual displacement and the principle of minimum potential energy. The paper takes the one-dimensional pull bar (pressure) to solve its element stiffness matrix by the differential equation method. The method can be also applied to solve other forms of the element stiffness matrix.
关键字：单元刚度矩阵；微分方程；有限元
Keyword：The Element Stiffness Matrix; Differential Equation; the Finite Element
肥胖是会呼吸的痛1 引言
利用有限元方法对结构进行分析，是将结构进行离散化，形成一系列的单元集合，这些单元在节点与相邻单元连接在一起，要确定整个结构的特性，必须先确定个别单元的的特性。通常根据虚位移原理或是最小势能原理来推导得到单元刚度矩阵，单元刚度矩阵是将单元节点位移和单元节点力、单元等效节点荷载联系起来的联系矩阵，是利用有限元求解问题的必要过程。本文将介绍除了根据虚位移原理和最小势能原理推导单元刚度矩阵之外，也可以由求解微分方程来推导单元的刚度矩阵。
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2由微分方程推导单元刚度矩阵
按单元的应力-位移的微分关系，建立关于位移函数的微分方程，在一定的边界条件下求解，即可得到单元节点力-位移的关系式。
a.端点2固定
b.端点1固定
图1 轴力-位移关系
以图1颜面骨折什么意思的一维的杆件单元为例，设单元内的位移分布为，有几何方程可知
（1）
根据本构关系得
（2）
若假定没有体力作用，那么平衡方程可表示为
（3）
现将端点2固定，在端点1施加位移，在正方向与坐标一致，如图1.a 所示，其几何边界条件为
（4）
对几何方程即（douludalu3）式进行两次积分可得
（5）
利用几何边界条件解得
汽车使命
（6）
由于边界的1,2的外法线，的方向余弦分别为
（7）
由边界条件可的
（8）
或
（9）
同理，将1端固定，在端点2施加位移，此时几何边界条件为
沙芦草（10）
于是可解的边界上力
（11）
因此，根据叠加原理，在端点1,2处同时施加位移，，那么相应的边界应力为
（12）
将其表示成矩阵形式为
（13）
记为
（14）
其中：
（15）
（15）式即为拉（压）杆单元刚度矩阵。
3总结
我们以最简单的一维杆件为例，介绍了利用微分方程求解单元刚度矩阵的可行性及方法。相对于虚位移原理和最小势能原理而言，利用微分方程求解单元刚度矩阵更浅显易懂，容易理解。此外，根据现在大学生的课程培养方案来看，虚位移原理和最小势能原理不容易被学生理解和接受，而利用微分方程求解单元刚度矩阵，只需要学生在学习高等数学的基础之上即可。
参考文献
[1]王焕定，焦兆平.有限单元法基础 [M].北京：高等教育出版社，2009.
[2]普齐米尼斯基JS.矩阵结构分析原理[M]. 北京：国防工业出版社，1979.
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[5]同济大学数学教研室. 高等数学[M]. 北京高等教育出版社，2008.
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