相关系数r AB 的计算公式的推导
设A i 、B i 分别表示证券A 、证券B 历史上各年获得的收益率；A 、B 分别表示证券A 、证券B 各年获得的收益率的平均数；P i 表示证券A 和证券B 构成的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。 2
组织微阵列A σ=
11
-n 2)(∑-A A i 2
B σ=1
1-n )(B B i -∑2 2
P σ=11-n 2)1(∑∑-i i
P n P =2)](1
)[(11i B i A i
B i A B A A A n B A A A n +-+-∑∑ =2)]()[(1
1
B A A A B A A A n B A i B i A +-+-∑ =2)]()([1
1
B B A A A A n i B i A -+--∑ =)])((2)()([1
122
22B B A A A A B B A A A A n i i B A i B i A --+-+--∑ =A 2
A
×
2
cba国辉
2
1
)(B
i
A
n A A +--∑×
1
)]
)([(21
)(2
---+
-
-∑∑n B B A A A A n B B i i B A i
=A 1
)])([(22
2
2
2---⨯
++∑n B B A A
A A A i i
B A B B A A σσ
对照公式（1）得：
=
gis
1
)(2
--∑n A A
i
×
1
)(2
--∑n B B
i
× r AB
∴ r AB =
∑∑∑-⨯---2
2
)
()()]
)([(B B A A B B A A i
i
i
i
这就是相关系数r AB 的计算公式。
1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资比例的测定
公式（1）左右两端对A A 求一阶导数，并注意到A B =1—A A ：
(2
P σ)′=2 A A 2
A σ－2 (1－A A )2
B σ＋2 (1－A A )B A σσ r AB －2A A B A σσ r AB 令 (2
P σ)′= 0 并简化，得到使2
P σ取极小值的A A ：
AB
B A i
i
r n B B A A σσ
=---∑1
)])([(
A A =AB
B A B A AB
三圣乡幸福梅林
B A B r r σσσσσσσ22
22-+- … …………………………………（3） 式中, 0≤A A ≤1，否则公式（3）无意义。galil
由于使(2
P σ)′=0的A A 值只有一个，所以据公式（3）计算出的A A 使2中铁航空港
P σ为最小值。 以上分析清楚地说明：对于证券A 和证券B ，只要它们的系数r AB 适当小（r AB 的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A 和证券B 构成的投资组合中，当投资于风险
较大的证券B 的资金比例不超过按公式（3）计算的（1—A A ），会比将全部资金投资于风险较小的证券A 的方差（风险）还要小；只要投资于证券B 的资金在（1—A A ）的比例范围内，随着投资于证
券B 的资金比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B 的资金比例等于（1—A A ）时，投资组合的方差（风险）最小。这种结果有悖于人们的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式（3）计算出的证券A 和证券B 的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A 和证券B 的各种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。
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